Nedenstående opgaver er ekstra frivillige opgaver til dem, som er færdige med de regulære opgaver, men har tid og lyst til mere.

Ekstra Opgaver – Lille Dag

Ekstra Opgave 1: Entydighed af den reducerede trappeform

I afsnit 6.5 fra lærebogen (som ikke er pensum) gennemgås hvorfor en givet matrix har en entydigt bestemt reduceret trappeform. Målet med opgaven er at forstå beviset af Sætning 6.5.1.

Spørgsmål a

Læs Sætning 6.5.1, men ikke dens bevis. Hvordan vil du gribe det an at bevise sætningen? Læs nu første afsnit af beviset: “Fra Sætning 6.2.1 ved vi, at de homogene systemer af lineære ligninger med koefficientmatricerne \({\mathbf A}\), \({\mathbf B}_1\) og \({\mathbf B}_2\) alle har præcis samme løsning. Ideen med beviset er at vise, at de homogene systemer af lineære ligninger med koefficientmatricerne \({\mathbf B}_1\) og \({\mathbf B}_2\) kun kan have de samme løsninger, hvis \({\mathbf B}_1={\mathbf B}_2\). Desuden anvender vi induktion på \(n\), antallet af søjler.”

Spørgsmål b

Første trin af beviset er at bevise induktionsbasen. Prøv derfor at bevise Sætning 6.5.1 for \(n=1\).

Hint

Hvis du sidder fast, kig bare på det næste afsnit af beviset af Sætning 6.5.1 i lærebogen.

Spørgsmål c

Næste trin i beviset for Sætning 6.5.1 er induktionstrinnet. Prøv først selv at gennemføre det. Sidder man fast, kig gerne i lærebogen for at se hvordan induktionstrinnet gennemføres der.