Opgave 1: Et homogent, komplekst system af lineære differentialligninger
Givet følgende komplekse system af differentialligninger:
\[\begin{split}
\left\{
\begin{array}{rcl}
f_1'(t) & = & 2f_1(t)-5f_2(t)\\
f_2'(t) & = & f_1(t)-2f_2(t)
\end{array}.
\right.
\end{split}\]
Spørgsmål a
Systemet kan skrives på formen
\[\begin{split}
\left[\begin{array}{c} f_1'(t)\\ f_2'(t)\end{array}\right] = {\mathbf A} \cdot \left[\begin{array}{c} f_1(t)\\ f_2(t)\end{array}\right].
\end{split}\]
Hvad er matricen \(\mathbf A\)? Bestem også matricens karakteristiske polynomium.
Svar
Matricen \({\mathbf A}\) er systemets koefficientmatrix. Det vil sige at:
\[\begin{split}
{\mathbf A}=\left[\begin{array}{rr} 2 & -5\\ 1 & -2\end{array}\right].
\end{split}\]
Vi har
\[\begin{split}
p_{\mathbf A}(Z)=\mathrm{det}\left(\left[\begin{array}{cc} 2-Z & -5\\ 1 & -2-Z\end{array}\right]\right)=Z^2+1.
\end{split}\]
Spørgsmål b
Det oplyses at over de komplekse tal er egenrummet \(E_i\) for matricen \(\mathbf A\) fra spørgsmål a givet ved
\[\begin{split}
E_i=\mathrm{span}_{\mathbb C}\left( \left[\begin{array}{c} 2+i\\ 1\end{array}\right] \right).\end{split}\]
Beskriv uden yderligere beregninger egenrummet \(E_{-i}\).
Hint
Kan man bruge kompleks konjugation til noget her?
Svar
Fordi matricen \(\mathbf A\) har reelle koefficienter, fås at \({\mathbf v} \in E_i\) hvis og kun hvis \(\overline{\mathbf v} \in E_{-i}\). Med \(\overline{\mathbf v}\) menes vektoren man får ved at tage den komplekse konjugerede af samtlige elementer i \(\mathbf v\). Derfor fås:
\[\begin{split}
E_{-i}=\mathrm{span}_{\mathbb C}\left( \left[\begin{array}{c} 2-i\\ 1\end{array}\right] \right).
\end{split}\]
Spørgsmål c
Giv den fuldstændige, komplekse løsning til det givne system af differentialligninger.
Svar
\[\begin{split}
\left[\begin{array}{c} f_1(t)\\ f_2(t)\end{array}\right] =c_1 \cdot \left[\begin{array}{c} 2+i\\ 1\end{array}\right]\cdot e^{it}+c_2 \cdot \left[\begin{array}{c} 2-i\\ 1\end{array}\right] \cdot e^{-it}=\left[\begin{array}{c} c_1\cdot (2+i)\cdot e^{it}+c_2\cdot (2-i)\cdot e^{-it}\\ c_1\cdot e^{it}+c_2\cdot e^{-it}\end{array}\right]\, , \quad \text{ hvor } c_1,c_2 \in \mathbb{C}.
\end{split}\]
Opgave 2: Fra komplekse til reelle løsninger
I denne opgave betragtes det samme system af differentialligninger som i Opgave 1:
\[\begin{split}
\left\{
\begin{array}{rcl}
f_1'(t) & = & 2f_1(t)-5f_2(t)\\
f_2'(t) & = & f_1(t)-2f_2(t)
\end{array}.
\right.
\end{split}\]
Den fuldstændige, komplekse løsning til dette system er:
\[\begin{split}
\left[\begin{array}{c} f_1(t)\\ f_2(t)\end{array}\right] =c_1 \cdot \left[\begin{array}{c} 2+i\\ 1\end{array}\right]\cdot e^{it}+c_2 \cdot \left[\begin{array}{c} 2-i\\ 1\end{array}\right] \cdot e^{-it}=\left[\begin{array}{c} c_1\cdot (2+i)\cdot e^{it}+c_2\cdot (2-i)\cdot e^{-it}\\ c_1\cdot e^{it}+c_2\cdot e^{-it}\end{array}\right]\, , \quad \text{ hvor } c_1,c_2 \in \mathbb{C}.
\end{split}\]
Målet med opgaven er at eksemplificere hvordan man udfra komplekse løsninger kan finde reelle løsninger. Den generelle fremgangsmåde beskrives i Corollary 12.2.6 fra lærebogen.
Spørgsmål a
I den givne fuldstændige løsning vælges konstanterne \(c_1\) og \(c_2\) således at \(c_1=c_2=a\), hvor \(a\) er et reelt tal. Vis at løsningen i dette tilfælde kan omskrives til følgende:
\[\begin{split}
\left[\begin{array}{c} f_1(t)\\ f_2(t)\end{array}\right] =a \cdot \left[\begin{array}{c} 2(e^{it}+e^{-it})\\ e^{it}+e^{-it}\end{array}\right] +a \cdot \left[\begin{array}{c} i(e^{it}-e^{-it})\\ 0\end{array}\right].
\end{split}\]
Brug nu Eulers formler (ligning (3.7) og (3.8) fra lærebogen) til at omskrive \(e^{it}\) og \(e^{-it}\) til udtryk i \(\cos(t)\) og \(\sin(t)\). Hvad er resultatet?
Svar
\[\begin{split}
\left[\begin{array}{c} f_1(t)\\ f_2(t)\end{array}\right] =a \cdot \left[\begin{array}{c} 4\cos(t)\\ 2\cos(t)\end{array}\right] +a \cdot \left[\begin{array}{c} -2\sin(t)\\ 0\end{array}\right]=a \cdot \left[\begin{array}{c} 4\cos(t)-2 \sin(t)\\ 2\cos(t)\end{array}\right].
\end{split}\]
Spørgsmål b
I den givne fuldstændige løsning vælges nu konstanterne \(c_1\) og \(c_2\) således at \(c_1=b\cdot i\) og \(c_2=-b \cdot i\), hvor \(b\) er et reelt tal. Omskriv i dette tilfælde løsningen til et udtryk i \(\cos(t)\) og \(\sin(t)\).
Hint
Man kunne starte med at tjekke at
\[\begin{split}
\left[\begin{array}{c} f_1(t)\\ f_2(t)\end{array}\right] =b \cdot \left[\begin{array}{c} -(e^{it}+e^{-it})\\ 0\end{array}\right]+b \cdot \left[\begin{array}{c} 2i(e^{it}-e^{-it})\\ i(e^{it}-e^{-it})\end{array}\right].
\end{split}\]
Svar
\[\begin{split}
\left[\begin{array}{c} f_1(t)\\ f_2(t)\end{array}\right] = b \cdot \left[\begin{array}{c} -2\cos(t)\\ 0\end{array}\right]+b \cdot \left[\begin{array}{c} -4\sin(t)\\ -2\sin(t)\end{array}\right] =b \cdot \left[\begin{array}{c} -2\cos(t)-4 \sin(t)\\ -2\sin(t)\end{array}\right].
\end{split}\]
Opgave 3: Begyndelsesbetingelser i et reelt system af lineære differentialligninger
Systemet fra Opgave 1 betragtes igen, men nu som et reelt system af differentialligninger. Fra Opgave 2 (og Corollary 12.2.6) konkluderes at systemets fuldstændige, reelle løsning er:
\[\begin{split}
\left[\begin{array}{c} f_1(t)\\ f_2(t)\end{array}\right] = a \cdot \left[\begin{array}{c} 4\cos(t)-2 \sin(t)\\ 2\cos(t)\end{array}\right]+b\cdot \left[\begin{array}{c} -2\cos(t)-4 \sin(t)\\ -2\sin(t)\end{array}\right]\, , \quad \text{ hvor } a,b \in \mathbb{R}.
\end{split}\]
Bestem den løsning til systemet som opfylder begyndelsesbetingelserne \(f_1(\pi)=1\) og \(f_2(\pi)=3\).
Hint
Indsættes \(t=\pi\) i den fuldstændige løsning og bruges begyndelsesbetingelserne, så fås to lineære ligninger som konstanterne \(a\) og \(b\) skal opfylde. Hvilke to?
Hint
De to ligninger som \(a\) og \(b\) skal opfylde er \(-4a+2b=1\) og \(-2a=3\).
Svar
\[\begin{split}
\left[\begin{array}{c} f_1(t)\\ f_2(t)\end{array}\right] = (-3/2) \cdot \left[\begin{array}{c} 4\cos(t)-2 \sin(t)\\ 2\cos(t)\end{array}\right]+(-5/2)\cdot \left[\begin{array}{c} -2\cos(t)-4 \sin(t)\\ -2\sin(t)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} -\cos(t)+13 \sin(t)\\ -3\cos(t)+5 \sin(t)\end{array}\right].
\end{split}\]
Opgave 4: Et inhomogent, reelt system af lineære differentialligninger
Givet følgende reelle system af differentialligninger:
\[\begin{split}
\left\{
\begin{array}{rcl}
f_1'(t) & = & 2f_1(t)-5f_2(t)+e^{2t}\\
f_2'(t) & = & f_1(t)-2f_2(t)-e^{2t}
\end{array}.
\right.
\end{split}\]
Læg mærke til at det tilhørende homogene system af differentialligninger er systemet betragtet i Opgave 3.
Spørgsmål a
Det oplyses at der findes en partikulær løsning til det givne system på formen:
\[\begin{split}
\left[\begin{array}{c} f_1(t)\\ f_2(t)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} d_1\cdot e^{2t}\\ d_2\cdot e^{2t}\end{array}\right]\, ,
\end{split}\]
hvor \(d_1\) og \(d_2\) er visse uopgivne reelle tal. Bestem \(d_1\) og \(d_2\).
Hint
Indsætter man \(f_1(t)=d_1 \cdot e^{2t}\) og \(f_1(t)=d_2 \cdot e^{2t}\) i systemet, så får man at \(2d_1 e^{2t}= (2d_1-5d_2+1)e^{2t}\) og \(2d_2 e^{2t}= (d_1-2d_2-1)e^{2t}\). Hvilke ligninger skal \(d_1\) og \(d_2\) derfor opfylde?
Svar
Konstanterne \(d_1\) og \(d_2\) skal opfylde ligningerne \(2d_1=2d_1-5d_2+1\) og \(2d_2=d_1-2d_2-1.\) Løses disse to ligninger, så fås at \(d_1=9/5 \, \) og \(d_2=1/5\).
Spørgsmål b
Giv den fuldstændige, reelle løsning til det givne inhomogene system af differentialligninger.
Svar
Lægges den fundne partikulære løsning fra spørgmål a sammen med den fundne fuldstændige, reelle løsning som beskrevet i Opgave 3, så fås det ønskede:
\[\begin{split}
\left[\begin{array}{c} f_1(t)\\ f_2(t)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 9e^{2t}/5\\ e^{2t}/5\end{array}\right]+a \cdot \left[\begin{array}{c} 4\cos(t)-2 \sin(t)\\ 2\cos(t)\end{array}\right]+b\cdot \left[\begin{array}{c} -2\cos(t)-4 \sin(t)\\ -2\sin(t)\end{array}\right]\, , \quad \text{ hvor } a,b \in \mathbb{R}.
\end{split}\]
Opgave 5: En koefficientmatrix som ikke kan diagonaliseres
Der betragtes følgende homogene, reelle system af differentialligninger:
\[\begin{split}
\left\{
\begin{array}{rcl}
f_1'(t) & = & 2f_1(t)+f_2(t)\\
f_2'(t) & = & -4f_1(t)-2f_2(t)
\end{array}
\right.
\end{split}\]
Spørgsmål a
Bestem systemets koefficientmatrix \(\mathbf A\) og undersøg dens egenværdier samt egenvektorer ved hjælp af SymPy. Kan koefficientmatricen diagonaliseres?
Svar
Det gælder at:
\[\begin{split}{\mathbf A}= \left[\begin{array}{cc} 2 & 1\\ -4 & -2\end{array}\right].\end{split}\]
SymPy kan bruges til at afsløre at koefficientmatricen kun har \(0\) som egenværdi og at \(\mathrm{am}(0)=2\) samt \(\mathrm{gm}(0)=1\). Derfor kan \(\mathbf A\) ikke diagonaliseres. En mulig basis for egenrummet \(E_0\) er:
\[\begin{split}\left\{ \left[\begin{array}{c} -1/2\\1\end{array}\right] \right\}.\end{split}\]
En anden mulig basis for \(E_0\) er
\[\begin{split}\left\{ \left[\begin{array}{c} 1\\-2\end{array}\right] \right\}.\end{split}\]
Spørgsmål b
Find nu først den fuldstændige løsning til følgende homogene system af differentialligninger:
\[\begin{split}
\left[\begin{array}{c} g'_1(t)\\ g'_2(t)\end{array}\right] = {\mathbf J} \cdot \left[\begin{array}{c} g_1(t)\\ g_2(t)\end{array}\right],\end{split}\]
hvor
\[\begin{split}
{\mathbf J}= \left[\begin{array}{cc} 0 & 1\\0 & 0\end{array}\right].
\end{split}\]
Hint
Hvis man skriver ned hvilke ligninger \(g_1(t)\) og \(g_2(t)\) skal opfylde, fås \(g_1'(t)=g_2(t)\) og \(g_2'(t)=0\). Hvilke muligheder er der for \(g_2(t)\)?
Hint
Man får at \(g_2(t)\) skal være en konstant funktion, så man kan skrive \(g_2(t)=c_1\). Find nu alle muligheder for \(g_1(t)\).
Svar
Den fuldstændige løsning er
\[\begin{split}\left[\begin{array}{c} g_1(t)\\ g_2(t)\end{array}\right] = c_1 \cdot \left[\begin{array}{c} t\\ 1\end{array}\right]+c_2 \cdot \left[\begin{array}{c} 1\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} c_1\cdot t+c_2\\ c_1\end{array}\right]\, , \quad \text{ hvor } c_1,c_2 \in \mathbb{R}.\end{split}\]
Spørgsmål c
Det oplyses at \({\mathbf A}={\mathbf Q} \cdot {\mathbf J} \cdot {\mathbf Q}^{-1}\), hvor \(\mathbf J\) er som før og hvor
\[\begin{split}
{\mathbf Q}= \left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\-2 & 1\end{array}\right].
\end{split}\]
Tjek gerne denne ligning med SymPy. Det kan vises at dette medfører at
\[\begin{split}\left[\begin{array}{c} f_1(t)\\ f_2(t)\end{array}\right] \quad \text{ er løsning til systemet } \left[\begin{array}{c} f'_1(t)\\ f'_2(t)\end{array}\right] = {\mathbf A} \cdot \left[\begin{array}{c} f_1(t)\\ f_2(t)\end{array}\right]\end{split}\]
hvis og kun hvis
\[\begin{split}\left[\begin{array}{c} g_1(t)\\ g_2(t)\end{array}\right] = {\mathbf Q}^{-1} \cdot \left[\begin{array}{c} f_1(t)\\ f_2(t)\end{array}\right] \quad \text{ er løsning til systemet } \left[\begin{array}{c} g'_1(t)\\ g'_2(t)\end{array}\right] = {\mathbf J} \cdot \left[\begin{array}{c} g_1(t)\\ g_2(t)\end{array}\right].\end{split}\]
Find nu den fuldstændige løsning til det oprindelige homogene system af differentialligninger som havde koefficientmatricen \(\mathbf A\).
Hint
Brug den fuldstændige løsning fra det forrige spørgsmål og den givne sammenhæng mellem løsninger til de to nævnte systemer af differentialligninger.
Svar
Den fuldstændige løsning er
\[\begin{split}\left[\begin{array}{c} f_1(t)\\ f_2(t)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\-2 & 1\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c} c_1\cdot t+c_2\\ c_1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} c_1\cdot t+c_2\\ -2\cdot c_1 \cdot t-2\cdot c_2 +c_1\end{array}\right]
\, , \quad \text{ hvor } c_1,c_2 \in \mathbb{R}.\end{split}\]
