Opgaver – Store Dag

Opgaver – Store Dag#

Opgave 1: En reel, ikke lineær differentialligning#

Givet den reelle differentialligning \(f'(t)^2-4e^{2t} \cdot f(t)=0\).

Spørgsmål a#

Er funktionen \(f(t)=t\) løsning til differentialligningen?

Hint

Er ligningen \(f'(t)^2-4e^{2t} \cdot f(t)= 0\) opfyldt hvis du indsætter funktionen \(f(t)=t\)?

Svar

Nej.

Spørgsmål b#

Er funktionen \(f(t)=e^{2t}\) løsning til differentialligningen?

Hint

Den afledte til \(f(t)=e^{2t}\) er \(f'(t)=2e^{2t}\). Er ligningen \(f'(t)^2-e^{2t} \cdot f(t)= e^{2t}\) opfyldt hvis du indsætter funktionen \(f(t)=e^{2t}\)?

Svar

Ja.

Opgave 2: En reel, lineær differentialligning#

I denne opgave undersøges den reelle differentialligning

\[f'(t)-3f(t)=t.\]

Spørgsmål a#

Det opgives at der findes reelle tal \(a\) og \(b\) sådan, at funktionen \(at+b\) er en løsning til differentialligning. Find \(a\) og \(b\).

Hint

Indsæt funktionen \(f(t)=at+b\) i differentialligningen og undersøg hvad \(a\) og \(b\) skal opfylde for at funktionen er en løsning.

Svar

\(a=-1/3\) og \(b=-1/9\).

Spørgsmål b#

Find den fuldstændige løsning til den reelle differentialligning \(f'(t)-3f(t)=0\).

Svar

\(f(t)=c \cdot e^{3t}\), hvor \(c \in \mathbb{R}.\)

Spørgsmål c#

Brug svarene fra de forrige spørgsmål til at finde den fuldstændige løsning for den reelle differentialligning \(f'(t)-3f(t)=t\).

Svar

Den ønskede fuldstændige løsning er \(f(t)=c \cdot e^{3t}+(-1/3)t+(-1/9)\), hvor \(c \in \mathbb{R}.\) Det er lidt enklere at skrive \(f(t)=c \cdot e^{3t}-t/3-1/9\), hvor \(c \in \mathbb{R}.\)

Opgave 3: Begyndelsesbetingelser#

Den fuldstændige løsning til den reelle differentialligning \(f'(t)=e^t \cdot f(t)\) er givet ved \(f(t)=c\cdot e^{e^t},\) hvor \(c \in \mathbb{R}.\)

Spørgsmål a#

Tjek ved indsættelse i den givne differentialligning at \(f(t)=3\cdot e^{e^t}\) er en løsning.

Spørgsmål b#

Find den løsning til den givne differentialligning som opfylder begyndelsesbetingelsen \(f(0)=1\).

Hint

Fordi den fuldstændige løsning er givet ved \(f(t)=c\cdot e^{e^t},\) skal man prøve at bestemme en værdi for \(c\) således at begyndelsesbetingelsen er opfyldt.

Svar

Den ønskede funktion er \(f(t)=(1/e)\cdot e^{e^t}\), som også kan skrives som \(f(t)=e^{-1+e^t}\).

Opgave 4: Et homogent, reelt system af lineære differentialligninger (håndregning)#

Denne opgave er tænkt til håndregning. Et lineært, reelt differentialligningssystem med konstante koefficienter er givet således:

\[\begin{split} \left[\begin{array}{c} f_1'(t)\\ f_2'(t)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr} 1 & 8\\ 1 &-1\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c} f_1(t)\\ f_2(t)\end{array}\right]. \end{split}\]

Spørgsmål a#

Find koefficientmatricens egenværdier og tilhørende egenrum, og opstil ved hjælp heraf den fuldstændige løsning til det givne differentialligningssystem.

Svar

Egenværdierne er \(3\) og \(-3\). De tilhørende egenrum er

\[\begin{split}E_3=\mathrm{span}\left(\left[\begin{array}{c} 4\\ 1\end{array}\right]\right) \quad \text{ og } \quad E_{-3}=\mathrm{span}\left(\left[\begin{array}{c} -2\\ 1\end{array}\right]\right).\end{split}\]

Ifølge Theorem 12.16 er den fuldstændige løsning derfor

\[\begin{split}\left[\begin{array}{c} f_1(t)\\ f_2(t)\end{array}\right]=c_1 \cdot \left[\begin{array}{c} 4\\ 1\end{array}\right]e^{3t}+c_2 \cdot \left[\begin{array}{c} -2\\ 1\end{array}\right]e^{-3t}, \quad \text{ hvor } c_1,c_2 \in \mathbb{R}.\end{split}\]

Spørgsmål b#

Find den løsning til det givne differentialligningssystem som opfylder \(f_1(0)=0\) og \(f_2(0)=3\).

Hint

Fra spørgsmål a vides hvordan den fuldstændige løsning ser ud. Indsættes \(t=0\) i denne fuldstændige løsning, så fås en betingelse som konstanterne \(c_1\) og \(c_2\) skal opfylde. Prøv nu at løse for \(c_1\) og \(c_2\).

Svar

\[\begin{split}\left[\begin{array}{c} f_1(t)\\ f_2(t)\end{array}\right]=1 \cdot \left[\begin{array}{c} 4\\ 1\end{array}\right]e^{3t}+2 \cdot \left[\begin{array}{c} -2\\ 1\end{array}\right]e^{-3t}=\left[\begin{array}{c} 4e^{3t}-4e^{-3t}\\ e^{3t}+2e^{-3t}\end{array}\right].\end{split}\]

Opgave 5: Et homogent, reelt system af lineære differentialligninger (SymPy)#

Givet følgende reelle system af differentialligninger:

\[\begin{split} \left\{ \begin{array}{rcl} f_1'(t) & = & 8f_1(t)+5f_2(t)\\ f_2'(t) & = & -10f_1(t)-7f_2(t) \end{array} \right. \end{split}\]

Spørgsmål a#

Find en matrix \(\mathbf A\) og funktioner \(q_1(t)\) og \(q_2(t)\) således at

\[\begin{split} \left[\begin{array}{c} f_1'(t)\\ f_2'(t)\end{array}\right] = {\mathbf A} \cdot \left[\begin{array}{c} f_1(t)\\ f_2(t)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} q_1(t)\\ q_2(t)\end{array}\right] \end{split}\]

Er systemet homogen eller inhomogen?

Svar

Det gælder at

\[\begin{split} \left[\begin{array}{c} f_1'(t)\\ f_2'(t)\end{array}\right] = \left[ \begin{array}{cc} 8 & 5\\ -10 & -7\end{array} \right]\cdot \left[\begin{array}{c} f_1(t)\\ f_2(t)\end{array}\right] \end{split}\]

Derfor fås \(q_1(t)=0\), \(q_2(t)=0\) og

\[\begin{split}{\mathbf A}=\left[ \begin{array}{cc} 8 & 5\\ -10 & -7\end{array} \right].\end{split}\]

Systemet er homogen, fordi både \(q_1(t)\) og \(q_2(t)\) er nul.

Spørgsmål b#

Brug SymPy til at finde \({\mathbf A}\)’s egenværdier og baser til de tilhørende egenrum. Brug SymPys output til at finde den fuldstændige løsning til det givne reelle system af differentialligninger.

Hint

Indføres matricen som A og bruges kommandoen A.eigenvects(), så fås det ønskede output. Theorem 12.16 kan nu bruges til at finde den ønskede fuldstændige løsning.

Svar

Egenværdierne er \(-2\) og \(3\), mens

\[\begin{split}E_{-2}=\mathrm{span}\left(\left[\begin{array}{c} -1/2\\ 1\end{array}\right]\right) \quad \text{og} \quad E_{3}=\mathrm{span}\left(\left[\begin{array}{c} -1\\ 1\end{array}\right]\right).\end{split}\]

Nu fås at den ønskede fuldstændige løsning fra Theorem 12.16 i noterne:

\[\begin{split} \left[\begin{array}{c} f_1(t)\\ f_2(t)\end{array}\right] = c_1\cdot \left[ \begin{array}{c} -1/2 \\ 1\end{array} \right]\cdot e^{-2t}+c_2\cdot \left[ \begin{array}{c} -1 \\ 1\end{array} \right]\cdot e^{3t}, \quad \text{ hvor } c_1,c_2 \in \mathbb{R}. \end{split}\]

Opgave 6: Et inhomogent, reelt system af lineære differentialligninger#

Givet følgende reelle system af differentialligninger:

\[\begin{split} \left\{ \begin{array}{rcl} f_1'(t) & = & 8f_1(t)+5f_2(t)+3\\ f_2'(t) & = & -10f_1(t)-7f_2(t)+1 \end{array} \right. \end{split}\]

Spørgsmål a#

Tjek at det tilhørende homogene system af differentialligninger er systemet givet i Opgave 5.

Spørgsmål b#

Det oplyses at der findes reelle tal \(a\) og \(b\) således at de konstante funktioner \(f_1(t)=a\) og \(f_2(t)=b\) danner en partikulær løsning til det givne inhomogene system. Beregn nu \(a\) og \(b\). Eventuelle inverse matricer må gerne beregnes ved hjælp af SymPy.

Hint

Indsæt funktionerne \(f_1(t)=a\) og \(f_2(t)=b\) i systemet. Hvad skal \(a\) og \(b\) opfylde?

Hint

Betegnes med \({\mathbf A}\) matricen fra Opgave 5, så fås at \(a\) og \(b\) skal opfylde

\[\begin{split}\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\end{array}\right]={\mathbf A} \cdot \left[\begin{array}{c} a\\ b\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} 3\\ 1\end{array}\right].\end{split}\]

Svar

\(a=-13/3\) og \(b=19/3\).

Spørgsmål c#

Find den fuldstændige løsning til det givne inhomogene, reelle system af differentialligninger.

Hint

Definition 12.13 og resultaterne fra de forrige spørgsmål kan bruges her.

Svar

\[\begin{split} \left[\begin{array}{c} f_1(t)\\ f_2(t)\end{array}\right] = \left[ \begin{array}{c} -13/3 \\ 19/3\end{array} \right]+c_1\cdot \left[ \begin{array}{c} -1/2 \\ 1\end{array} \right]\cdot e^{-2t}+c_2\cdot \left[ \begin{array}{c} -1 \\ 1\end{array} \right]\cdot e^{3t}, \quad \text{ hvor } c_1,c_2 \in \mathbb{R}. \end{split}\]

Opgave 7: Begyndelsesbetingelser i et system af lineære differentialligninger#

Der betragtes det samme inhomogene, reelle system af differentialligninger som i Opgave 6. Beregn løsningen til systemet som opfylder begyndelsesbetingelserne

\[\begin{split}\left[ \begin{array}{c} f_1(0) \\ f_2(0) \end{array} \right]=\left[ \begin{array}{c} 4 \\ -5\end{array} \right].\end{split}\]

Inverse matricer må eventuelt gerne beregnes ved hjælp af SymPy.

Svar

\[\begin{split}\left[ \begin{array}{c} f_1(t) \\ f_2(t) \end{array} \right]=\left[ \begin{array}{c} -13/3 \\ 19/3\end{array} \right]-6\cdot \left[ \begin{array}{c} -1/2 \\ 1\end{array} \right]\cdot e^{-2t}-(16/3)\cdot \left[ \begin{array}{c} -1 \\ 1\end{array} \right]\cdot e^{3t}=\left[ \begin{array}{c} -13/3+3 e^{-2t}+(16/3)e^{3t} \\ 19/3-6 e^{-2t}-(16/3)e^{3t}\end{array} \right].\end{split}\]

Opgave 8: Panserformlen#

Givet den reelle differentialligning \(f'(t)+f(t)/t=3t.\) Det antages \(t>0\).

Spørgsmål a#

Find differentialligningens fuldstændige løsning.

Hint

Differentialligningen kan omskrives til \(f'(t)=\frac{-1}{t} \cdot f(t)+3t\). Derfor kan Theorem 12.3 fra noterne bruges.

Hint

Den forrige hint medfører at man kan bruge Theorem 12.3 med \(a(t)=-1/t\) og \(q(t)=3t\). I Example 12.4 fra noterne gennemgås et eksempel hvor \(a(t)=-1/t\) ligesom her.

Svar

\(f(t)=t^2+c/t\), hvor \(c \in \mathbb{R}\).

Spørgsmål b#

Find den løsning til differentialligningen som opfylder begyndelsesbetingelsen \(f(1)=5\).

Svar

\(f(t)=t^2+4/t\).

Opgave 9: En drilsk koefficientmatrix#

Lad \(\lambda\) være et reelt tal og betragt følgende reelle differentialligningssystem:

\[\begin{split} \left[\begin{array}{c} f_1'(t)\\ f_2'(t)\\ f_3'(t)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr} \lambda & 1 & 0\\ 0 & \lambda &1\\ 0 & 0 & \lambda\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c} f_1(t)\\ f_2(t)\\ f_3(t)\end{array}\right]. \end{split}\]

Hvad er systemets fuldstændige løsning?

Hint

De sædvanlige metoder virker ikke, fordi koefficientmatricen har én egenværdi \(\lambda\), som har algebraisk multiplicitet \(3\) og geometrisk multiplicitet \(1\). Prøv i stedet for at hente inspiration fra Example 12.22 i noterne.

Hint

At følgende to vektorer er løsninger kan vises på lignende måde some i Example 12.22:

\[\begin{split}\left[ \begin{array}{c} f_1(t) \\ f_2(t) \\ f_3(t) \end{array} \right]=\left[ \begin{array}{c} e^{\lambda t}\\ 0 \\ 0\end{array} \right] \quad \text{ og} \left[ \begin{array}{c} f_1(t) \\ f_2(t) \\ f_3(t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} te^{\lambda t} \\ e^{\lambda t} \\ 0\end{array} \right].\end{split}\]

Der mangler nu en løsning, lineært uafhængigt af de forrige to til at finde den fuldstændige løsning.

Hint

Prøv at finde en løsning på formen

\[\begin{split}\left[ \begin{array}{c} f_1(t) \\ f_2(t) \\ f_3(t) \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{c} at^2e^{\lambda t} \\ te^{\lambda t} \\ e^{\lambda t}\end{array} \right],\end{split}\]

hvor \(a \in \mathbb{R}.\)

Svar

\[\begin{split}\left[ \begin{array}{c} f_1(t) \\ f_2(t) \\ f_3(t) \end{array} \right]=c_1\cdot \left[ \begin{array}{c} e^{\lambda t}\\ 0 \\ 0\end{array} \right]+c_2 \cdot \left[ \begin{array}{c} te^{\lambda t} \\ e^{\lambda t} \\ 0\end{array} \right]+c_3 \cdot \left[ \begin{array}{c} (1/2)t^2 e^{\lambda t} \\ te^{\lambda t}\\ e^{\lambda t}\end{array} \right], \quad \text{ hvor } c_1,c_2,c_3 \in \mathbb{R}.\end{split}\]