Opgaver – Lille Dag#
Opgave 1: Repetitionsopgave: Negation#
Betragt igen de logiske udsagn \(u\), \(v\) og \(w\) fra Opgave 1 på Store Dag.
Spørgsmål a#
Opskriv sandhedstabeller for \(\neg u\), \(\neg v\) og \(\neg w\).
Hint
Brug sandhedstabellerne som du beregnede i Opgave 1 på Store Dag, frem for at starte helt forfra.
Spørgsmål b#
Lad nu \(P\) og \(Q\) betegne negationen af de logiske udsagn:
“6 er et ulige tal” og “3<7”.
Hvad er sandhedsværdien af de tre udsagn \(u\), \(v\) og \(w\)?
Svar
u: T (dvs. Sand), v: T og w: T
Opgave 2: Implikation#
Spørgsmål a#
Lad \(P\) være et logisk udsagn. Opskriv sandhedstabellerne for \((P \Rightarrow P) \Rightarrow P\) og \(P \Rightarrow (P \Rightarrow P)\).
Spørgsmål b#
Er ovenstående to logiske udsagn ækvivalente?
Svar
Nej.
Opgave 3: Implikation/Biimplikation#
Spørgsmål a#
Løs førstegradsligningen \(x-2 = 3\).
Spørgsmål b#
Nogen løser ovenstående førstegradsligning på mere omstændig måde, og glemmer samtidig at sætte implikationspile mellem sine udregninger. Udregningerne fremgår af nedenstående:
\(x-2=3\)
\((x-2)^2 =3^2\)
\(x^2 -4x+4=9\)
\(x^2 -4x -5 =0\)
\(x=-1 \vee x=5\)
Mellem hvilke udregninger kan vi sætte biimplikationspile og mellem hvilke kun en implikationspil? Forklar hvorfor ikke hver mulighed for \(x\) i den sidste udregning behøves at være en løsning til den oprindelige ligning.
Hint
Ifølge Ligning (1.22) i Sætning 1.3.4 kan man sætte en biimplikationspil mellem to logiske udsagn \(P\) og \(Q\) præcist hvis \(P\) medfører \(Q\) og \(Q\) medfører \(P\).
Spørgsmål c#
En anden person løser ligningssystemet på en anden (og også ret omstændig) måde:
\(x-2=3\)
\(x-5 =0\)
\((x-5)^2 =0\)
\(x^2 -10x +25 =0\)
\(x=5\) (der er kun en løsning til andengradsligningen)
Mellem hvilke udregninger kan vi sætte biimplikationspile og mellem hvilke kun en implikationspil? Forklar hvorfor denne gang hver mulighed for \(x\) i den sidste udregning er en løsning til den oprindelige ligning.
Svar
Der gælder biimplikationspile mellem samtlige udregninger.
Opgave 4: Tautologi#
Betragt det logiske udsagn: \((P \vee Q)\vee (\neg P \wedge \neg Q)\).
Spørgsmål a#
Vis ved hjælp af sandhedstabeller at det er en tautologi.
Hint
Hvis du er i tvivl om hvad en tautologi er, se teksten i lærebogen mellem Definition 1.3.1 og Eksempel 1.3.1.
Spørgsmål b#
Forklar i ord at ovenstående er en tautologi.
Hint
Med ord kan man udtale \(\neg P \wedge \neg Q\) som “ikke \(P\) og heller ikke \(Q\)”. Alternativt kunne man også sige “hverken \(P\) eller \(Q\)”. Prøv nu på lignende måde at fortolke \((P \vee Q)\vee (\neg P \wedge \neg Q)\) sprogligt.
Spørgsmål c#
Samme spørgsmål som i spørgsmål a, men med udsagnet \((P \Rightarrow Q)\vee (Q \Rightarrow P)\).
Spørgsmål d#
Samme spørgsmål som i spørgsmål a, men nu med udsagnet \((P \Rightarrow Q)\vee (\neg P \Rightarrow Q)\).
Opgave 5: Ligninger#
Løs følgende fire ligninger ved først at indføre en tautologi.
Spørgsmål a#
Løs ligningen \(|x|=-x+1\).
Løs ligningen \(|x|=2x+1\).
Løs ligningen \(3|2x-1|=-4x+3\).
Løs ligningen \(|2x+1|=|-5x+3|\).
Hint
Se Eksempel 1.4.2 i lærebogen til inspiration.
Hint
Omskriv ligningen til \(|x|=-x+1 \wedge ( x<0 \vee x \ge 0)\).
Svar
\(x=\frac{1}{2}\)
\(x=-\frac{1}{3}\)
\(x=0 \vee x=\frac{3}{5}\)
\(x=\frac{4}{3} \vee x=\frac{2}{7}\)