Opgaver – Lille Dag#
Opgave 1: Omvendte funktioner: eksponentialfunktionen og den naturlige logaritme#
Givet en bijektive funktion \(f: A \to B\), så betegnes den inverse funktion, også kaldt omvendt funktion, som \(f^{-1}: B \to A\) (se Definition 2.2.1 fra lærebogen). Den naturlige logaritme \(\mathrm{ln}\) indføres i Eksempel 2.3.2 som den omvendte funktion til eksponentialfunktionen \(\mathrm{exp}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}_{>0}\) givet ved forskriften \(x\mapsto e^x.\)
Spørgsmål a#
Angiv definitionsmængde, dispositionsmængde og værdimængde af \(\mathrm{ln}\).
Svar
Definitionsmængde: \(\mathbb{R}_{>0}\).
Dispositionsmængde: \(\mathbb{R}\).
Værdimængde: \(\mathbb{R}\).
Spørgsmål b#
Angiv forskrift, definitionsmængde, dispositionsmængde og værdimængde af de sammensatte funktioner \(\mathrm{ln} \circ \mathrm{exp}\) og \(\mathrm{exp} \circ \mathrm{ln}\).
Hint
Hvis du er i tvivl hvad notationen \(g \circ f\) præcist betyder, se forklaring i lærebogen straks efter Eksempel 2.2.2. Hvis du vil læse om definitionen af en omvendt funktion, se Definition 2.2.1.
Svar
Fra Definition 2.2.1, fås at \(\mathrm{ln} \circ \mathrm{exp}=\mathrm{id}_{\mathbb R}\) og \(\mathrm{exp} \circ \mathrm{ln}=\mathrm{id}_{\mathbb{R}_{>0}}\). Derfor gælder følgende:
\(\mathrm{ln} \circ \mathrm{exp}\) har forskrift \(x \mapsto x\) (dvs. \(\mathrm{ln}(e^x)=x\)), definitionsmængde \(\mathbb R\), dispositionsmængde \(\mathbb R\) og værdimængde \(\mathbb R\).
\(\mathrm{exp} \circ \mathrm{ln}\) har forskrift \(x \mapsto x\) (dvs. \(e^{\mathrm{ln}(x)}=x\)), definitionsmængde \(\mathbb R_{>0}\), dispositionsmængde \(\mathbb R_{>0}\) og værdimængde \(\mathbb R_{>0}\).
Spørgsmål c#
Bevis regnereglen
hvor \(a\) og \(b\) er positive reelle tal (dvs. \(a,b \in \mathbb{R}_{>0}\)). Du må bruge at \(e^x \cdot e^y=e^{x+y}\) for alle reelle tal \(x\) og \(y\).
Hint
Som skrevet må du bruge at \(e^x \cdot e^y=e^{x+y}\) for alle reelle tal \(x\) og \(y\). Hvad sker der hvis man vælger \(x=\ln(a)\) og \(y=\ln(b)\)?
Hint
Fra det forrige hint fås \(a \cdot b = e^{\ln(a)+\ln(b)}\). Brug nu at logaritmefunktionen \(\ln\) er den inverse funktion til eksponentialfunktionen.
Opgave 2: Rekursivt definerede funktioner#
Spørgsmål a#
En funktion \(f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}\) bliver defineret rekursivt som følger: \(f(1)=0\) og \(f(n)=2\cdot f(n-1)+1\) hvis \(n \ge 2\). Beregn \(f(5)\).
Hint
Beregn først \(f(2)\). Kan du bruge værdien \(f(2)\) til at bestemme endnu en værdi af funktionen \(f\)?
Svar
\(f(5)=15\) (undervejs i beregningen vil man også have fået at \(f(2)=1\), \(f(3)=3\) og \(f(4)=7\)).
Spørgsmål b#
En funktion \(g: \mathbb{N} \to \mathbb{R}\) bliver defineret rekursivt som følger: \(g(1)=3\), \(g(2)=1\) og \(g(n)=n\cdot g(n-1)+g(n-2)\) hvis \(n \ge 3\). Beregn \(g(6)\).
Hint
For at bestemme \(g(n)\) vha rekursionen bruges ikke kun \(g(n-1)\), men også \(g(n-2)\). Læs eventuelt først den rekursive definition af Fibonacci-tallene i Eksempel 3.1.2 i lærebogen hvis du vil se et andet eksempel hvor det sker.
Hint
Værdierne \(g(1)\) og \(g(2)\) er kendte direkte fra den rekursive definition. Prøv derfor Derfor kan man beregne \(g(3)\) ud fra den rekursive definition. Den giver nemlig formlen \(g(3)=3g(2)+g(1)\) for \(n=3\). Bagefter kan \(g(4)\) beregnes, så \(g(5)\) osv.
Svar
\(g(6)=811\) (undervejs i beregningen vil man også have fået at \(g(3)=6\), \(g(4)=25\) og \(g(5)=131\)).
Spørgsmål c#
En funktion \(h: \mathbb{N} \to \mathbb{R}\) forsøges at blive defineret rekursivt som følger: \(h(1)=11\) og \(h(n)=h(n^2-5n+7)\) hvis \(n \ge 2\). Beregn \(h(4)\). Kan \(h(5)\) også beregnes?
Hint
Angående værdien af \(h(4)\): den rekursive definition giver \(h(4)=h(3)\). Prøv derfor at bestemme værdien af \(h(3)\).
Svar
\(h(4)=11\).
Hvis man prøver at beregne \(h(5)\), fås
Man ser derfor at i hvert iteration, rekursionen kalder sig selv for en større inputværdi end før. Derfor afslutter rekursionen aldrig og kan \(h(5)\) ikke beregnes.
Opgave 3: Priknotationen og sumtegnet#
Givet et naturligt tal \(n\) og reelle tal \(a_1,\dots,a_n\), så betegnes summen af disse reellee tal med \(a_1+\cdots+a_n\) eller nogle gange også med \(a_1+a_2+\cdots+a_n\). I denne opgave undersøges nogle eksempler.
Spørgsmål a#
Der defineres \(a_k=2k\) for \(k=1,2,3,4\). Hvad er \(a_1+\cdots+a_n\) hvis \(n=4\)? Og hvad hvis \(n=3\)?
Svar
\(n=4\): \(a_1+a_2+a_3+a_4=2+4+6+8=20\).
\(n=3\): \(a_1+a_2+a_3=2+4+6=12\).
Spørgsmål b#
Det samme spørgsmål, men nu for \(n=2\) og for \(n=1\).
Svar
\(n=2\): \(a_1+a_2=2+4=6\). Det vil sige at “prikkerne” egentlig bare skal ignoreres i notation \(a_1+\cdots+a_n\) hvis \(n=2\).
\(n=1\): Nu er svaret blot \(a_1=2\). Det vil sige at notation \(a_1+\cdots+a_n\) for \(n=1\) kan være lidt misvisende, fordi man egentlig ikke har en sum med flere led, men blot leddet \(a_1\). Dette er en af grundene at nogle foretrække at bruge sumtegn-notationen (\(\sum\)-notationen).
Spørgsmål c#
Dette delspørgsmål handler om sumtegnet (notation: \(\sum\)). Beregn \(\sum_{k=1}^4 k^2\). Hvad er \(\sum_{k=1}^1 k^2\)?
Hint
Sumtegnet blev defineret rekursivt i Ligning (3.5) i lærebogen.
Svar
\(\sum_{k=1}^4 k^2=1^2+2^2+3^2+4^2=30.\)
\(\sum_{k=1}^1 k^2=1^2=1.\)
Opgave 4: Graf af en invertibel funktion#
Spørgsmål a#
Skitser grafer til eksponential og logaritme funktionen fra Eksempel 2.3.2 i den samme figur. Er der en symmetri mellem disse to grafer?
Hvad skyldes symmetrien?
Svar
Symmetrien er spejling i linjen \(y=x\). Grunden af symmetrien er at \(e^x=y\) hvis og kun hvis \(x=\ln(y).\)
Helt generelt, hvis \(f: A \to B\) er en invertibel funktion og \(x \in A\), \(y \in B\), så gælder at \(f(x)=y\) hvis og kun hvis \(x=f^{-1}(y)\). Symmetrien giver derfor mening: hvis man spejler punktet \((x,f(x))\) på \(f\)’s graf, fås punktet \((f(x),x)\). Hvis vi nu betegner \(f(x)\) med \(y\) (dvs. \(y=f(x)\)), så fås \((f(x),x)=(y,f^{-1}(y)),\) som netop er et punkt på \(f^{-1}\)’s graf. Omvendt kan ses at hvis vi spejler et punkt på \(f^{-1}\)’s graf, så fås et punkt på \(f\)’s graf.
Opgave 5: Logaritmer#
Lad \(a\) være et positivt reelt tal forskelligt fra \(1\): Funktionen \(f: \mathbb R \to \mathbb R_{>0}\) er givet ved forskriften \(x \mapsto a^x\).
Spørgsmål a#
Lav en skitse af funktionens graf hvis \(a \in ]0,1[\). Er \(f\) monoton? Mere præcist, er \(f\) strengt stigende eller strengt aftagende?
Hint
Hvis du er i tvivl om hvad ordene “monoton”, “strengt stigende (på engelsk: strictly increasing)” og “strengt aftagende (på engelsk: strictly decreasing)” betyder, så kan du finde en forklaring i teksten straks efter Lemma 2.3.1 i lærebogen.
Svar
Funktionen \(f\) er monoton. Mere præcist, den er strengt aftagende.
Spørgsmål b#
Lav igen en skitse af funktionens graf, men nu under antagelse at \(a \in \mathbb{R}_{>1}\). Er \(f\) strengt stigende eller strengt aftagende?
Svar
Funktionen \(f\) er strengt stigende.
Spørgsmål c#
Man kan vise at funktionen \(f\) er bijektiv, som betyder at \(f\) har en inverse funktion. Giv en forskrift af den inverse funktion til \(f\).
Hint
Prøve at løse for \(x\) i ligningen \(y=a^x\). Formlen \(a=e^{\ln(a)}\) kan være behjælpsom, samt regnereglen at \((u^v)^w=u^{vw}\) for alle \(u \in \mathbb R_{>0}\) og alle \(v,w \in \mathbb R\).
Svar
\(f^{-1}(x)=\ln(x)/\ln(a).\) Bemærkning: man skriver som regel \(\log_a\) til at angive denne inverse funktion og kalder den logaritmen med base \(a\). Hyppigt brugte logaritme-funktioner (udover \(\ln\)) er \(\log_2\) og \(\log_{10}\).