Opgaver – Store Dag#
Opgave 1: Mængder på listeform#
Lad \(A\) og \(B\) være endelige mængder, givet på listeformerne:
Spørgsmål a#
Hvilke elementer indgår i mængderne \(A\) og \(B\)?
Hint
Elementerne i mængden \(A\) er tallene \(m^2\) man får når \(m\) gennemløber alle tal i \(\{1,2,3,4,5\}\).
Svar
\(A=\{1,4,9,16,25\}\) og \(B=\{1,3,5,7,9\}\).
Spørgsmål b#
Hvilke elementer indgår i mængderne \(A \cap B\) og \(A \cup B\,\)?
Hint
Hvis du vil se hvordan \(\cap\) (fællesmængdesymbol) og \(\cup\) (foreningsmængdesymbol) blev defineret, se Ligning (2.1) og (2.2) fra lærebogen.
Spørgsmål c#
Hvilke elementer indgår i mængderne \(A \setminus B\) og \(B \setminus A\,\)?
Svar
\(A\setminus B=\{4,16,25\}\) og \(B\setminus A=\{3,5,7\}\).
Opgave 2: Mængder på listeform#
Lad \(C\) og \(D\) være mængder, givet på listeformerne:
Hvilke elementer indgår i mængderne \(C \cap D\) og \(C \cup D\,\)?
Svar
\(C \cap D\) indeholder alle naturlige tal som er både et multiplum af \(2\) og af \(3\). Derfor består \(C \cap D\) af alle naturlige tal som er et multiplum af \(6\). Det vil sige: \(C \cap D= \{n \in \Bbb{N} \, | \, n=6m \,\,\,\mathrm{hvor} \,\,\, m \in \Bbb{N}\}\).
\(C \cup D\) indeholder alle naturlige tal som er et multiplum af \(2\) eller et multiplum af \(3\). Derfor \(C \cup D = \{2,3,4,6,8,9,10,12,\dots\}.\)
Opgave 3: Talmængder#
Beskriv med dine egne ord mængderne \(\Bbb{R} \setminus \Bbb{Q}\) og \(\Bbb{Z} \setminus \Bbb{N}\,.\)
Opgave 4: Regneregler for mængdeoperationer#
Spørgsmål a#
Nogle identiteter i mængdeteori kan illustreres ved at lave en cirkeldiagram (også kendt som Venn-diagram). I lærebogen blev for eksempel fællesmængden, foreningsmængden og differensmængden illustreres på denne måde i Afsnit 2.1. Også mængdeidentiteter som dem i lærebogens Sætning 2.1.2 kan visualiseres vha. sådanne diagrammer.
Lav cirkeldiagrammer der visualiserer identiteterne (2.8)-(2.11) i lærebogens Sætning 2.1.2.
Spørgsmål b#
Brug udsagnslogik til at bevise identiteterne (2.4) og (2.10) i lærebogens Sætning 2.1.2.
Hint
Især for at bevise identitet (2.10), kan du lade dig inspirere af beviset for identitet (2.11) i Sætning 2.1.2 fra lærebogen.
Spørgsmål c#
Lad \(A\) og \(B\) være mænger med et endeligt antal elementer. Lad \(|A|\) betegne antal elementer i en mængde \(A\). Giv en forklaring på følgende identitet.
\(|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|\).
Hint
For at få intuitionen på plads, check først at identiteten holder for mængderne \(A\) og \(B\) fra Opgave 1.
Opgave 5: Surjektiv, injektiv og bijektiv#
Fire mængder er givet ved:
Nedenfor er givet fire funktioner. Afgør hvilke der er surjektive, injektive eller bijektive.
Spørgsmål a#
\(f_1 :A\rightarrow B\)
\(\ \ x \mapsto x^2\)
Hint
Hvis du er i tvivl om hvad begreberne “injektiv”, “surjektiv” og “bijektiv” går ud på, så kan du genopfriske din hukommelse ved at læse Afsnit 2.2 fra lærebogen igen (mere præcist teksten efter Lemma 2.2.1 op til Definition 2.2.1).
Hint
Det kan hjælpe først at skrive mængderne \(A\) og \(B\) ned mere eksplicit. Prøv for eksempel at indse at \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}.\)
Svar
\(f_1\) er både injektiv og surjektiv. Derfor er den også bijektiv.
Spørgsmål b#
\(f_2 :D\rightarrow B\)
\(\ \ x \mapsto x^2\)
Hint
For at vise at en funktion ikke er injektiv, er det tilstrækkeligt at finde to forskellige elementer fra funktions definitionsmængde som bliver afbildt på det samme element fra dispositionsmængden.
Svar
\(f_2\) er surjektiv, men ikke injektiv og derfor heller ikke bijektiv.
Spørgsmål c#
\(f_3 :C\rightarrow B\)
\(\ \ x \mapsto x^2\)
Hint
For at vise at en funktion ikke er surjektiv, er det tilstrækkeligt at vise at funktionens billedmængde ikke er hele dispositionsmængden.
Svar
\(f_3\) er injektiv, men ikke surjektiv og derfor heller ikke bijektiv.
Spørgsmål d#
\(f_4 :\Bbb Z\rightarrow \Bbb Z\)
\(\ \ x \mapsto |x|\)
Svar
\(f_4\) er ikke injektiv, ikke surjektiv og heller ikke bijektiv.
Opgave 6: Sammensatte funktioner#
Givet er mængden \(A=\{0,1,2\}\), samt to funktioner \(f: A \to A\) og \(g: A \to \mathbb{R}\). Funktionen \(f\) har forskrift \(f(x)=2-x\), mens funktionen \(g\) har forskrift \(g(x)=2x+e^x\).
Spørgsmål a#
Er den sammensatte funktion \(f \circ g\) defineret? Hvad med \(g \circ f\)?
Hint
I lærebogen, straks efter Eksempel 2.2.2, kan du læse om hvad der skal til for at kunne sammensætte to funktioner.
Svar
\(f \circ g\) er ikke defineret, fordi \(g\)’s dispositionsmængde er \(\mathbb{R}\), som ikke er \(f\)’s definitionsmængde (den er nemlig \(A\)).
\(g \circ f\) er defineret, fordi \(f\)’s dispositionsmængde er det samme som \(g\)’s definitionsmængde (nemlig \(A\)).
Bemærk at man ikke behøver at kende forskrifterne for to funktioner for at kunne afgøre om deres sammensætning er defineret. Kun at vide deres definitions- og dispositionsmængderne er tiltrækkeligt til afgørelsen.
Spørgsmål b#
Beregn \((g\circ f)(a)\) for alle \(a \in A\).
Svar
\((g \circ f)(0)=4+e^2\), \((g \circ f)(1)=2+e\) og \((g \circ f)(2)=1\).
Mellemregning til det sidste svar:
Spørgsmål c#
Bestem forskrift, definitionsmængde, dispositionsmængde og værdimængde af funktionen \(g \circ f\).
Hint
Værdimængden kan bestemmes ud fra svar til spørgsmål b. Definitionsmængde og dispositionsmængde kan bestemmes ud fra definitionen af en sammensat funktion.
Svar
Forskrift: \((g \circ f)(x)=2(2-x)+e^{2-x}\) (eller helst lidt pænere \((g \circ f)(x)=4-2x+e^{2-x}\)).
Værdimængde: \(\{4+e^2,2+e,1\}\) (det er også fint at ordne tallene efter størrelse og give som svar \(\{1,2+e,4+e^2\}\)).
Definitionsmængde: \(A\), dvs. \(\{0,1,2\}\).
Dispositionsmængde: \(\mathbb R\).
Spørgsmål d#
Er funktionen \(g \circ f\) injektiv? Hvad med surjektiv?
Svar
Injektiv: ja. Surjektiv: nej.
Opgave 7: En inverse funktion#
Givet er en funktion \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) som har funktionsforskriften
Spørgsmål a#
Lad \(g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) være funktionen med funktionsforskriften
Vis ved at bruge Definition 2.2.1 fra lærebogen at \(g\) er den inverse funktion til \(f\).
Spørgsmål b#
Redegør for at \(f\) er bijektiv.
Hint
Frem for at starte med at vise at \(f\) er injektiv og surjektiv, prøv at benytte Lemma 2.2.2.
Opgave 8: Andengradspolynomiumsfunktioner#
Der betragtes en funktion \(h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) som har funktionsforskriften
Spørgsmål a#
Bring funktionen \(h\) på formen \(h(x)=2(x-k_1)^2+k_2\) og angiv konstanterne \(k_1\) og \(k_2\). Brug denne form til at bestemme værdimængden til \(h\).
Hint
En mulig metoden som man kan bruge her, er kendt som “kvadratkomplettering”.
Svar
\(h\) har værdimængden \(\{ x \in \mathbb{R} \, | \, x \ge 7\}.\) Man kan også beskrive denne mængde som \(\mathbb{R}_{\ge 7}\).
Spørgsmål b#
Angiv det størst mulige interval \(J \subseteq {\Bbb R}_{\geq 0}\) hvorpå restriktionen af \(h\) bliver injektiv.
Hint
Brug spørgsmål a til at lave en skitse af grafen til \(h\).
Svar
\(J=\{ x \in \mathbb{R} \, | \, x \ge 5\}.\) Man kan også beskrive denne mængde som \(\mathbb{R}_{\ge 5}\).
Spørgsmål c#
Vi betrager nu \(h\)’s restriktion til intervallet \(J\) fra spørgsmål b og indskrænker \(h\)’s dispositionsmængde til mængden \(\mathbb{R}_{\ge 7}\) fra spørgsmål a. Den resulterende funktion er bijektiv og betegnes med \(h_1\). Mere konkret, \(h_1\) er funktionen \(h_1: J \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 7}\) givet ved \(h_1(x)=2x^2 -20x +57.\)
Angiv en forskrift for den inverse funktion \({h_1}^{-1}\)
Hint
En god start er at løse for \(x\) i ligningen \(2x^2 -20x +57=y\).
Spørgsmål d#
Angiv definitions- og værdimængden for \({h_1}^{-1}\)
Svar
Funktionen \(h_1^{-1}\) har definitionsmængde \(\mathbb{R}_{\ge 7}\) og dispositionsmængde \(\mathbb{R}_{\ge 5}\). Fordi \(h_1^{-1}\) er surjektiv (faktisk bijektiv), er \(h_1^{-1}\)’s værdimængde det samme som dens dispositionsmængde, dvs. \(\mathbb{R}_{\ge 5}\).
Opgave 9: Bijektion#
Givet er funktionen \(f :\Bbb N\rightarrow \Bbb Z\) defineret ved
\( x \mapsto \left\{ \begin{array}{ll} \frac{x}{2} & x\ \mathrm{lige,} \\ -\frac{x-1}{2} & x\ \mathrm{ulige.} \\ \end{array} \right. \)
Spørgsmål a#
Er \(f\) en bijektion?
Hint
For at få en ide om funktionens opførsel, beregn først \(f(1)\), \(f(2)\), \(f(3)\), \(f(4)\) og \(f(5)\).
Svar
Ja.
Opgave 10: Hyperbolske funktioner#
I denne opgave indføres to nye funktioner, men som er dannet af allerede kendte funktioner. De to funktioner kaldes sinus og cosinus hyperbolsk, og er defineret ved:
\(\mathrm{sinh}(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\) og \(\mathrm{cosh}(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}.\)
Det antages for begge funktioner at både deres definitionsmængder og dispositionsmængder er lige med \(\mathbb R\).
Spørgsmål a#
Redegør for at \(\mathrm{sinh}(x)\) er injektiv og at \(\mathrm{cosh}(x)\) ikke er injektiv.
Hint
Er funktionerne monotone?
Spørgsmål b#
Find en forskrift for \(\mathrm{sinh}^{-1}\) ved at isolere \(x\) i ligningen \(y=\mathrm{sinh}(x)\).
Hint
Gang din ligning igennem med \(e^x\) og løs den fremkommende andengradsligning.
Hint
Hvorfor kan vi smide den ene løsning væk?