Opgaver – Store Dag

Opgaver – Store Dag#

Opgave 1: Linearkombinationer#

Givet er følgende vektorer i \(\mathbb{R}^3\):

\[\begin{split} {\mathbf u}=\left[ \begin{array}{c} 4\\ -2\\ 0\\ \end{array} \right], \quad {\mathbf v}=\left[ \begin{array}{c} 7\\ 4\\ 3\\ \end{array} \right], \quad {\mathbf w}=\left[ \begin{array}{c} 1\\ 7\\ 3\\ \end{array} \right]. \end{split}\]

Spørgsmål a#

Beregn følgende linearkombinationer af de tre vektorer \({\mathbf u}, {\mathbf v}\) og \({\mathbf w}.\)

  1. \(4{\mathbf v}.\)

  2. \(2{\mathbf u}-3{\mathbf w}\).

  3. \(3{\mathbf u}-2{\mathbf v}+2{\mathbf w}\).

Svar

  1. \[\begin{split}4{\mathbf v}=\left[ \begin{array}{c} 28\\ 16\\ 12\\ \end{array} \right]. \end{split}\]
\[\begin{split} 2{\mathbf u}-3{\mathbf w}=\left[ \begin{array}{c} 5\\ -25\\ -9\\ \end{array} \right]. \end{split}\]
\[\begin{split}3{\mathbf u}-2{\mathbf v}+2{\mathbf w}=\left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\\ \end{array} \right].\end{split}\]

Spørgsmål b#

Afgør om vektorerne \({\mathbf u}, {\mathbf v}\) og \({\mathbf w}\) er lineært uafhængige baseret på svarene fra spørgsmål a.

Hint

Du kan finde i Definition 7.1.1 hvad det betyder for vektorer at være lineært uafhængige/afhængige. Ligning (7-3) og (7-4) kan også være nyttige at se på.

Svar

Vektorerne \({\mathbf u}\), \({\mathbf v}\) og \({\mathbf w}\) er ikke linært uafhængige, på grund af del 3. af spørgsmål a og Ligning (7-4) fra lærebogen.

Spørgsmål c#

Vis at vektorerne \({\mathbf u}\) og \({\mathbf v}\) er lineært uafhængige.

Hint

Betragt først Ligning (7-3) fra lærebogen. Hvis \(c_1,c_2 \in \mathbb{R}\) opfylder at

\[\begin{split}c_1 \cdot {\mathbf u}+c_2 \cdot {\mathbf v}=\left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\\ \end{array} \right],\end{split}\]

kan man da vise at \(c_1=c_2=0\)?

Svar

Vektorerne \({\mathbf u}\) og \({\mathbf v}\) er lineært uafhængige.

Opgave 2: Lineært uafhængige vektorer i \(\mathbb{R}^4\)#

Der opgives følgende tre vektorer i \(\mathbb{R}^4\):

\[\begin{split} {\mathbf u}=\left[ \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 0\\ 0\\ \end{array} \right], \quad {\mathbf v}=\left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 1\\ 0\\ \end{array} \right], \quad {\mathbf w}=\left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\\ 1\\ \end{array} \right]. \end{split}\]

Spørgsmål a#

Vis at vektorerne \({\mathbf u}, {\mathbf v}\) og \({\mathbf w}\) er lineært uafhængige.

Hint

Antag at

\[\begin{split} c_1\cdot\left[ \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 0\\ 0\\ \end{array} \right]+c_2\cdot\left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 1\\ 0\\ \end{array} \right]+c_3\cdot\left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\\ 1\\ \end{array} \right]=\left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{array} \right]. \end{split}\]

Hvad kan der siges om \(c_1, c_2\) og \(c_3\)?

Spørgsmål b#

Antag at \({\mathbf c} \in \mathbb{R}^4\) opfylder at vektorerne \({\mathbf u}, {\mathbf v}, {\mathbf w}\) og \({\mathbf c}\) er lineært uafhængige. Vis, at i så fald kan vektor \(\mathbf c\) ikke skrives som en linearkombination af \({\mathbf u}, {\mathbf v}\) og \({\mathbf w}\).

Hint

Bruges kontraposition (Ligning (1.21) fra lærebogen), så ses at det man skal vise er logisk ækvivalent med udsagnet: hvis \({\mathbf c}\) kan skrives som en linearkombination af \({\mathbf u}, {\mathbf v}\) og \({\mathbf w}\), så er vektorerne \({\mathbf u}, {\mathbf v}, {\mathbf w}\) og \({\mathbf c}\) lineært afhængige. Prøv at visse dette udsagn.

Hint

Hvis \({\mathbf c}=c_1\cdot {\mathbf u}+c_2\cdot {\mathbf v}+c_3\cdot {\mathbf w}\) for visse \(c_1,c_2,c_3 \in \mathbb{R}\), så gælder

\[\begin{split}{\mathbf c}-c_1\cdot {\mathbf u}-c_2\cdot {\mathbf v}-c_3\cdot {\mathbf w}=\left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{array} \right].\end{split}\]

Spørgsmål c#

Find en vektor \({\mathbf b} \in \mathbb{R}^4\) således at vektorerne \({\mathbf u}, {\mathbf v}, {\mathbf w}\) og \({\mathbf b}\) er lineært uafhængige.

Hint

Spørgsmål b kan bruges her. Prøv derfor at finde en vektor \({\mathbf b} \in \mathbb{R}^4\) som ikke kan skrives som en linearkombination af \({\mathbf u}, {\mathbf v}\) og \({\mathbf w}\).

Hint

Kan vektoren

\[\begin{split}\left[ \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{array} \right]\end{split}\]

skrives som en linearkombination af \({\mathbf u}, {\mathbf v}\) og \({\mathbf w}\)?

Opgave 3: Lineært uafhængighed og reduceret trappeform.#

Givet er følgende tre vektorer i \(\mathbb{R}^3\):

\[\begin{split} {\mathbf v_1}=\left[ \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 4\\ \end{array} \right], \quad {\mathbf v_2}=\left[ \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 7\\ \end{array} \right], \quad {\mathbf v_3}=\left[ \begin{array}{c} 1\\ 2\\ 3\\ \end{array} \right]. \end{split}\]

Spørgsmål a#

Lad \(\mathbf A\) være den \(3 \times 3\) matrix som har søjler \({\mathbf v}_1, {\mathbf v}_2\) og \({\mathbf v}_3\). Beregn matricens reducerede trappeform og brug trappeformen til at finde \({\mathbf A}\)’s rang.

Svar

\(\mathbf A\)’s reducerede trappeform er

\[\begin{split} \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right]. \end{split}\]

Det vil sige at \(\mathbf A\)’s reducerede trappeform er \({\mathbf I}_3\), den \(3 \times 3\) identitetsmatrix. Trappeformen har tre pivot-elementer, som betyder at \(\rho(\mathbf A)=3.\)

Spørgsmål b#

Er de givne vektorer \({\mathbf v}_1, {\mathbf v}_2\) og \({\mathbf v}_3\) lineært uafhængige?

Hint

Sætning 7.1.3 fra lærebogen er nyttigt her.

Svar

Bruges Sætning 7.1.3, så kan man konkludere at de givne tre vektorer er lineært uafhængige.

Spørgsmål c#

Kan fire vektorer \({\mathbf w}_1, {\mathbf w}_2, {\mathbf w}_3\) og \({\mathbf w}_4\) i \(\mathbb{R}^3\) være lineært uafhængige?

Hint

Lad \(\mathbf B\) være den \(3 \times 4\) matrix som har søjler \({\mathbf w}_1, {\mathbf w}_2, {\mathbf w}_3\) og \({\mathbf w}_4\). Overvej hvorfor rangen af \(\mathbf B\) højest kan være tre.

Svar

Fordi \(\mathbf B\) har tre rækker, kan dens reducerede trappeform højest have tre pivotelementer. Derfor gælder at \(\rho(\mathbf B) \le 3\). Bruges Sætning 7.1.3, så kan man konkludere at fire vektorer \({\mathbf w}_1, {\mathbf w}_2, {\mathbf w}_3\) og \({\mathbf w}_4\) i \(\mathbb{R}^3\) altid er lineært afhængige. Svaret er derfor nej.

Opgave 4: Matrixprodukt#

Givet er følgende tre matricer:

\[\begin{split} {\mathbf A}=\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right] \quad {\mathbf B}=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 4\\ 2 & 1\\ 3 & 0\\ \end{array} \right] \quad {\mathbf C}=\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ \end{array} \right]. \end{split}\]

Spørgsmål a#

Hvilke af de ni mulige matrixprodukter \({\mathbf A}\cdot{\mathbf A}\), \(\, {\mathbf A}\cdot{\mathbf B}\), \(\, {\mathbf A}\cdot{\mathbf C}\), \(\, {\mathbf B}\cdot{\mathbf A}\), \(\, {\mathbf B}\cdot{\mathbf B}\), \(\, {\mathbf B}\cdot{\mathbf C}\), \(\, {\mathbf C}\cdot{\mathbf A}\), \(\, {\mathbf C}\cdot{\mathbf B}\), \(\, {\mathbf C}\cdot{\mathbf C}\) er definerede?

Hint

Ifølge Definition 7.2.2 fra lærebogen, kan man kun gange to matricer sammen hvis antallet af søjler i den første matrix er lig med antallet af rækker i den anden matrix.

Svar

Kun følgende matrixprodukter kan dannes: \({\mathbf A}\cdot{\mathbf B}, \, {\mathbf A}\cdot{\mathbf C}, \, {\mathbf B}\cdot{\mathbf A}, \, {\mathbf C}\cdot{\mathbf B}, \, {\mathbf C}\cdot{\mathbf C}\).

Spørgsmål b#

Beregn matrixprodukterne \({\mathbf A}\cdot{\mathbf B}\) og \({\mathbf B}\cdot{\mathbf A}\). Gælder det at \({\mathbf A}\cdot{\mathbf B}={\mathbf B}\cdot{\mathbf A}\)?

Svar

\[\begin{split}{\mathbf A}\cdot{\mathbf B}=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 2 & 1 \\ \end{array} \right]\end{split}\]
\[\begin{split}{\mathbf B}\cdot{\mathbf A}=\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 4 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ \end{array} \right].\end{split}\]

Det er klart fra svaret at \({\mathbf A}\cdot{\mathbf B} \neq {\mathbf B}\cdot{\mathbf A}\). Matricerne \({\mathbf A}\cdot{\mathbf B}\) og \({\mathbf B}\cdot{\mathbf A}\) har ikke engang den samme størrelse!

Spørgmål c#

Beregn produktet af skalaren \(-1/2\) og matricen \(\mathbf C\). Med andre ord: beregn \((-1/2) \cdot {\mathbf C}\).

Svar

\[\begin{split}(-1/2) \cdot {\mathbf C}=\left[ \begin{array}{ccc} -1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right]\end{split}\]

Spørgmål d#

Afgør om følgende summer af matricer er definerede og beregn dem der er: \((-1/2) \cdot {\mathbf C}+{\mathbf A} \cdot {\mathbf B}\) og \((-1/2) \cdot {\mathbf C}+{\mathbf B} \cdot {\mathbf A}.\)

Svar

Summen \((-1/2) \cdot {\mathbf C}+{\mathbf A} \cdot {\mathbf B}\) er ikke defineret, fordi \((-1/2) \cdot {\mathbf C}\) er en \(3 \times 3\) matrix og \({\mathbf A} \cdot {\mathbf B}\) en \(2 \times 2\) matrix.

Summen \((-1/2) \cdot {\mathbf C}+{\mathbf B} \cdot {\mathbf A}\) er defineret, fordi matricerne \((-1/2) \cdot {\mathbf C}\) og \({\mathbf B} \cdot {\mathbf A}\) har den samme størrelse. Udkomsten er:

\[\begin{split} (-1/2) \cdot {\mathbf C}+{\mathbf B} \cdot {\mathbf A}=\left[ \begin{array}{ccc} 1/2 & 4 & 0 \\ 2 & 3/2 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ \end{array} \right]. \end{split}\]

Opgave 5: Matrix-vektorprodukt og lineære ligningssystemer#

Givet er det lineære ligningssystem

\[\begin{split} \left\{ \begin{array}{ccc} x_1 + x_4 & = & 0\\ -2x_1+x_2 +3x_4 & = & 1\\ 5x_1 +x_3 -4x_4 & = & 1\\ 4x_1 +x_2 +x_3 & = & 2\\ \end{array} \right. \end{split}\]

Spørgsmål a#

Skriv systemet på formen som i Ligning (7-5) fra lærebogen.

Svar

\[\begin{split} \left[ \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 0 & 3 \\ 5 & 0 & 1 & -4 \\ 4 & 1 & 1 & 0 \\ \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \\ \end{array} \right]. \end{split}\]

Spørgsmål b#

Der defineres

\[\begin{split}{\mathbf A}=\left[ \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 0 & 3 \\ 5 & 0 & 1 & -4 \\ 4 & 1 & 1 & 0 \\ \end{array} \right], \quad {\mathbf b}=\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \\ \end{array} \right].\end{split}\]

Tjek at det givne lineære ligningssystem har totalmatrix \([{\mathbf A}|{\mathbf b}]\). I Opgave 3b fra Uge 6 Lille Dag, blev det tjekket at det lineære ligninssystem med totalmatrix \([{\mathbf A}|{\mathbf b}]\) har følgende partikulære løsning:

\[\begin{split} {\mathbf v}=\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} \right]. \end{split}\]

Tjek det igen, men denne gang ved at udregne produktet \({\mathbf A}\cdot{\mathbf v}\).

Opgave 6: Beregning af inverse matricer#

Givet er følgende kvadratiske matrix:

\[\begin{split}{\mathbf A}=\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 5 & 0 & 1 \\ \end{array} \right].\end{split}\]

Spørgsmål a#

Afgør om matricen \({\mathbf A}^{-1}\) findes og beregn den, hvis den gør.

Hint

Man kan følge proceduren som forklaret lige inden Eksempel 7.3.1 i lærebogen. Eksempel 7.3.1 og Eksempel 7.3.2 kan være nyttige også hvis man vil se nogle eksempler.

Svar

Den reducerede trappeform af matricen \([{\mathbf A}|{\mathbf I}_3]\) er

\[\begin{split}\left[ \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 1/2 & -1/2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 5/2 & 1 \\ \end{array} \right]. \end{split}\]

Derfor findes \({\mathbf A}^{-1}\) og der gælder

\[\begin{split}{\mathbf A}^{-1}=\left[ \begin{array}{ccc} 1/2 & -1/2 & 0 \\ 1/2 & 1/2 & 0 \\ -5/2 & 5/2 & 1 \\ \end{array} \right].\end{split}\]

Opgave 7: Inverse matricer og lineære ligningssystemer#

Lad \({\mathbf A} \in \mathbb{C}^{n \times n}\) være en kvadratisk matrix og antag at \({\mathbf A}\) er en invertibel matrix. Ydermere, lad \({\mathbf b} \in \mathbb{C}^n\) være en vektor.

Spørgsmål a#

Vis at vektoren \({\mathbf A}^{-1}\cdot {\mathbf b} \in \mathbb{C}^n\) er løsning til det lineære ligningssystem med totalmatrix \([{\mathbf A}|{\mathbf b}].\)

Hint

Skriv først ligningssystemet på matrixform ligesom i Ligning (7-5) i lærebogen.

Hint

På matrixform ser systemet ud som følger:

\[\begin{split} {\mathbf A} \cdot \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{array} \right]={\mathbf b}.\end{split}\]

Er dette opfyldt hvis

\[\begin{split} \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{array} \right]={\mathbf A}^{-1} \cdot {\mathbf b}?\end{split}\]

Spørgsmål b#

Vis at vektoren \({\mathbf A}^{-1} \cdot {\mathbf b}\) er den eneste løsning til det lineære ligningssystem med totalmatrix \([{\mathbf A}|{\mathbf b}].\)

Hint

Gang ligningen

\[\begin{split} {\mathbf A} \cdot \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{array} \right]={\mathbf b}\end{split}\]

med \({\mathbf A}^{-1}\) på begge sider af lighedstegnet fra venstre side.

Opgave 8: Ligningssystemer med variabel koefficient#

For enhver reel værdi af \(a\) er givet det lineære ligningssystem:

\[\begin{align*} ax_1 + x_2 + x_3 &= 1\\ x_1 + ax_2 + x_3 &= 1\\ x_1 + x_2 + ax_3 &= 1 \end{align*}\]

Spørgsmål a#

Angiv ligningssystemets totalmatrix.

Spørgsmål b#

Angiv løsningen i tilfældet når \(a=-2\).

Spørgsmål c#

Bestem løsningen til det lineære ligningssystem.

Hint

Undervejs i dine beregninger risikerer du at dividere med nul, noter disse specialtilfælde ned og behandl dem separat.

Answer

For \(a\in\mathbb R\setminus\{-2,1\}\) er løsningen \((x_1,x_2,x_3)=(\frac1{a+2},\frac1{a+2},\frac1{a+2})\), og for \(a=1\) er løsningen \((x_1,x_2,x_3)=(1,0,0)+t_1(-1,1,0)+t_2(-1,0,1)\quad,t_1,t_2\in\mathbb R\). Der er ingen løsning for \(a=-2\).

Bemærkning#

Der åbnes en Möbius test om forrige ugens Pythonopgave kl. 15:30.

Contents