---
jupytext:
  formats: md:myst
  text_representation:
    extension: .md
    format_name: myst
    format_version: '0.8'
    jupytext_version: 1.4.1+dev
kernelspec:
  display_name: Python 3
  language: python
  name: python3
---

(section:uge2L)=

Nedenstående opgaver er ekstra frivillige opgaver til dem som er færdig med de regulære opgaver, men har tid og lyst til mere.

# Ekstra Opgaver -- Lille Dag

## Ekstra Opgave 1: Mere om de hyperbolske funktioner

I Ekstra Opgave 2 fra Uge 2 Store Dag, blev de hyperbolske funktioner introduceret: 

$\mathrm{sinh}(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ og $\mathrm{cosh}(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}.$

### Spørgsmål a

+++

Notationen $\mathrm{cosh}(x)$ og $\mathrm{sinh}(x)$ blev valgt, fordi de hyperbolske funktioner nogle gange minder om de bedre kendte cosinus og sinus funktioner $\cos(x)$ og $\sin(x)$. Det vides for eksempel at $\cos(x)^2+\sin(x)^2=1$ og at derfor punktet $(\cos(x),\sin(x))$ ligger på enhedscirklen. Vis nu at $\mathrm{cosh}(x)^2-\mathrm{sinh}(x)^2=1$. 

Bemærkning: Det viser sig at punktet $(\mathrm{cosh}(x),\mathrm{sinh}(x))$ ligger på en hyperbol. Dette forklarer hvorfor $\mathrm{cosh}$ og $\mathrm{sinh}$ kaldes de hyperbolske funktioner. 

### Spørgsmål b

+++

Inspireret af formlen $\tan(x)=\sin(x)/\cos(x)$, lad os for alle $x \in \mathbb{R}$ definere $\mathrm{tanh}(x)=\mathrm{sinh}(x)/\mathrm{cosh}(x)$. Funktionen $\mathrm{tanh}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ defineret ved $x \mapsto \mathrm{tanh}(x)$ kaldes den hyperbolske tangens. Hvad er funktionens billedmængde?

### Spørgsmål c

+++

Vis at $\mathrm{tanh}(x)=(e^{2x}-1)/(e^{2x}+1)$ og brug dette til at finde et udtryk for den inverse hyperbolske tangens.


```{hint}
:class: dropdown
Funktionen $\mathrm{tanh}: \mathbb{R} \to \mathbf{R}$ er ikke surjektiv og har derfor ingen invers funktion. Man kan dog betragte den lignende funktion $\mathrm{tanh}: \mathbb{R} \to B$, hvor $B$ er billedmængden fundet i spørgsmål b. Det er denne funktion som viser sig til at have en invers funktion.
```