---
jupytext:
  formats: md:myst
  text_representation:
    extension: .md
    format_name: myst
    format_version: '0.8'
    jupytext_version: 1.4.1+dev
kernelspec:
  display_name: Python 3
  language: python
  name: python3
---

(section:uge2S)=

Nedenstående opgaver er ekstra frivillige opgaver til dem som er færdig med de regulære opgaver, men har tid og lyst til mere.

# Ekstra Opgaver -- Store Dag


----

## Ekstra Opgave 1: En bijektion


Givet er funktionen $f :\Bbb N\rightarrow \Bbb Z$ defineret ved

$ x \mapsto    \left\{
\begin{array}{ll}
      \frac{x}{2} & x\ \mathrm{lige,} \\
      -\frac{x-1}{2} & x\ \mathrm{ulige.} \\
\end{array} 
\right.  
$

### Spørgsmål a

+++

Er $f$ en bijektion?

```{hint}
:class: dropdown
For at få en ide om funktionens opførsel, beregn først $f(1)$, $f(2)$, $f(3)$, $f(4)$ og $f(5)$.
```

```{admonition} Svar
:class: dropdown
Ja.
```

---

## Ekstra Opgave 2: Hyperbolske funktioner

I denne opgave indføres to nye funktioner, men som er dannet af allerede kendte funktioner.
De to funktioner kaldes sinus og cosinus hyperbolsk, og er defineret ved:

$\mathrm{sinh}(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ og $\mathrm{cosh}(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}.$

Det antages for begge funktioner at både deres definitionsmængder og dispositionsmængder er lige med $\mathbb R$. 

### Spørgsmål a

+++

Redegør for at $\mathrm{sinh}(x)$ er injektiv og at $\mathrm{cosh}(x)$ ikke er injektiv.


```{hint}
:class: dropdown
Er funktionerne monotone?
```

### Spørgsmål b

+++

Find en forskrift for $\mathrm{sinh}^{-1}$ ved at isolere $x$ i ligningen $y=\mathrm{sinh}(x)$. 

```{hint}
:class: dropdown
Gang din ligning igennem med $e^x$ og løs den fremkommende andengradsligning.
```

```{hint}
:class: dropdown
Hvorfor kan vi smide den ene løsning væk?
```