---
jupytext:
  formats: md:myst
  text_representation:
    extension: .md
    format_name: myst
    format_version: '0.8'
    jupytext_version: 1.4.1+dev
kernelspec:
  display_name: Python 3
  language: python
  name: python3
---

(section:uge4L)=

Nedenstående opgaver er ekstra frivillige opgaver til dem som er færdig med de regulære opgaver, men har tid og lyst til mere.

# Ekstra Opgaver -- Lille Dag

## Ekstra Opgave 1: Den komplekse logaritme

+++

I denne opgave gives en måde at definere logaritmen af et komplekse tal forskellig fra nul. Mere præcist defineres funktionen $\mathrm{Log}: \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{C}$ ved forskriften $\mathrm{Log}(z)=\ln(|z|)+i \mathrm{Arg}(z).$

### Spørgsmål a

+++

Tjek at for $z \in \mathbb{R}_{>0}$ det gælder at $\mathrm{Log}(z)=\ln(z)$. Bestem også $\mathrm{Log}(z)$ for $z \in \mathbb{R}_{<0}$.

```{admonition} Svar
:class: dropdown
Hvis $z\in \mathbb{R}_{>0}$ gælder $\mathrm{Log}(z)=\ln(z)+i0=\ln(z)$. Hvis $z\in \mathbb{R}_{<0}$ gælder $\mathrm{Log}(z)=\ln(-z)+i \pi$. 
```

### Spørgsmål b

+++

Vis at $e^{\mathrm{Log}(z)}=z$ for alle $z \in \mathbb{C}\setminus \{0\}$. Konkludér at $w=\mathrm{Log}(z)$ er løsning til ligningen $e^w=z$, for alle $z \in \mathbb{C}\setminus \{0\}$.

### Spørgsmål c

+++

Den naturlige logaritme $\ln$ er den inverse til (den reelle) eksponentialfunktionen. Find $z \in \mathbb{C}$ således at $\mathrm{Log}(e^z) \neq z$. Konkludér at $\mathrm{Log}(z)$ ikke er den inverse funktion til den komplekse eksponentialfunktionen. 


```{hint}
:class: dropdown
I definitionen af $\mathrm{Log}(z)$ blev hovedargumentet af $z$ brugt. Et komplekst tal kan dog have mange argumenter.
```

### Spørgsmål d

+++

Den naturlige logaritme $\ln$ opfylder at $\ln(x_1x_2)=\ln(x_1)+ln(x_2)$ for alle positive reelle tal. Vis at det ikke er sandt at $\mathrm{Log}(z_1z_2)=\mathrm{Log}(z_1)+\mathrm{Log}(z_2)$ for alle komplekse tal forskellige fra nul.


```{hint}
:class: dropdown
For at vise at formlen $\mathrm{Log}(z_1z_2)=\mathrm{Log}(z_1)+\mathrm{Log}(z_2)$ ikke er sandt for alle komplekse tal forskellige fra nul, er det nok at finde et modeksempel.
```


```{admonition} Svar
:class: dropdown
Formlen er ikke sandt fordi $\mathrm{Log}((-1)^2) \neq \mathrm{Log}(-1)+\mathrm{Log}(-1).$
```