---
jupytext:
  formats: md:myst
  text_representation:
    extension: .md
    format_name: myst
    format_version: '0.8'
    jupytext_version: 1.4.1+dev
kernelspec:
  display_name: Python 3
  language: python
  name: python3
---

(section:uge4S)=

Nedenstående opgaver er ekstra frivillige opgaver til dem som er færdig med de regulære opgaver, men har tid og lyst til mere.

# Ekstra Opgaver -- Store Dag

## Ekstra Opgave 1: Heltalspotenser og polær form

Denne opgave er en fortsættelse at Opgave 9.

### Spørgsmål a

+++

Lad $n$ være et naturligt tal. Vis følgende:

$$(-1+\sqrt{3}i)^{3n}=2^{3n},$$ 

$$(-1+\sqrt{3}i)^{3n+1}=2^{3n}(-1+\sqrt{3}i),$$ 

og

$$(-1+\sqrt{3}i)^{3n+2}=2^{3n+1}(-1-\sqrt{3}i).$$ 

```{hint}
:class: dropdown
Vis først at $(-1+\sqrt{3}i)^{3}=2^3$. Hvad kan nu siges om $(-1+\sqrt{3}i)^{3n}\,$? 
```

%```{hint}
%:class: dropdown
%Hvis $(-1+\sqrt{3}i)^{3}=2^3$, så gælder $((-1+\sqrt{3}i)^{3})^n=(2^3)^n\,$, $(-1+\sqrt{3}i)^{3n+1}=(2^3)^n(-1+\sqrt{3}i)\,$ og $(-1+\sqrt{3}i)^{3n+2}=(2^3)^n(-1+\sqrt{3}i)^2$. 
%```

----

## Ekstra Opgave 2: Komplekse tal og Pythagoræiske tripler

Et Pythagoræisk tripel $(a,b,c)$ består ud af tre naturlige tal således at $a>b$ og $a^2+b^2=c^2$. Et eksempel er $(4,3,5).$

### Spørgsmål a

+++

Vis at hvis et tripel $(a,b,c)$ af naturlige tal er et Pythagoræisk tripel, så gælder at det komplekse tal $z=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}i$ opfylder $|z|=1$ og $\mathrm{Re}(z)>\mathrm{Im}(z)$.

### Spørgsmål b

+++

Lad os nu antage at et komplekst tal $z$ af opfylder $|z|=1$ og $\mathrm{Re}(z)>\mathrm{Im}(z)$ og at $z$ kan skrives på formen $z=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}i$, hvor $a,b$ og $c$ er naturlige tal. Vis at $(a,b,c)$ er et Pythagoræisk tripel.

+++

### Spørgsmål c

+++

Brug ovenstående indsigter og komplekse tal til at konstruere andre Pythagoræiske tripler ud fra triplet $(4,3,5).$

```{hint}
:class: dropdown
Hvis tallet $z=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}i$ giver anledning til det Pythagoræiske tripel $(a,b,c)$, hvad med tallet $z^2$ (eller eventuelt $i \cdot \overline{z}^2$)?
```

%----
%
%## Opgave 9: Afledte af den komplekse eksponentialfunktion
%
%Givet to funktioner $f_1: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ og $f_2: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, så kan man definere en funktion $f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ ved forskriften $f(x)=f_1(x)+if_2(x).$ Vi antager i denne opgave at de afledte funktioner af $f_1$ og $f_2$ findes og vil betegne dem som sædvanligt med $f_1'$ og $f_2'$. I så fald definerer man funktionen $f': \mathbb{R} \to \mathbb{C}$  med forskriften
%
%$$f'(x)=f_1'(x)+i f_2'(x).$$
%
%
%### Spørgsmål a
%
%+++
%
%Lad os nu vælge $f_1(x)=\cos(x)$ og $f_2(x)=\sin(x)$. Vis at i så fald det gælder at $f(x)=e^{ix}$ og $f'(x)=i e^{ix}$ for alle $x \in \mathbb{R}.$ Med andre ord: det gælder at $(e^{ix})'=ie^{ix}.$
%
%```{hint}
%:class: dropdown
%Husk at ifølge Eulers formel $e^{ix}=\cos(x)+i \sin(x)$. 
%```
%
%### Spørgsmål b 
%
%Lad $a$ og $b$ være reelle tal. Bestem to funktioner $f_1: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ og $f_2: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ således at funktionen med forskrift $f(x)=f_1(x)+if_2(x)$ opfylder at
%
%$$f(x)=e^{(a+ib)x} \quad \text{for alle} \quad x \in \mathbb{R}.$$  
%
%```{hint}
%:class: dropdown
%Definition 3.4.1 kan bruges til at omskrive $e^{(a+ib)x}$.
%```
%
%```{admonition} Svar
%:class: dropdown
%$f_1(x)=e^{ax} \cos(bx)$ og $f_2(x)=e^{ax} \sin(bx).$
%```
%
%### Spørgsmål c
%
%Vis at $(e^{(a+ib)x})'=(a+ib)e^{(a+ib)x}.$
%
%```{hint}
%:class: dropdown
%For at beregne $(e^{(a+ib)x})'$, bliver mand nødt til at beregne de afledte funktioner $f_1'$ og $f_2'$ fra spørgsmål b. Dette kan gøres ved at bruge både produktreglen og kædereglen (hvor $a$ og $b$ betragtes som konstanter). Hvis du er i tvivl hvad produktreglen (på engelsk: product rule) og kædereglen (på engelsk: chain rule) præcist indebærer, så kan du slå dem op i Appendiks 2 af lærebogen. 
%```
%
%----
%
%## Opgave 6: Binome ligninger
%
%### Spørgsmål a
%
%+++
%
%Løs den binome ligning $z^3=-8i$.
%
%```{hint}
%:class: dropdown
%Binome ligninger, dvs. en ligning på formen $z^n=w$, bliver løst i Sætning 5.4.1. I dette tilfælde bliver $n=3$ og $w=-8i$.  
%```
%
%```{admonition} Svar
%:class: dropdown
%$z^3=-8i$ har løsninger $2i$, $\sqrt{3}-i$ og $-\sqrt{3}-i$.
%```
%