---
jupytext:
  formats: md:myst
  text_representation:
    extension: .md
    format_name: myst
    format_version: '0.8'
    jupytext_version: 1.4.1+dev
kernelspec:
  display_name: Python 3
  language: python
  name: python3
---

(section:uge5L)=

Nedenstående opgaver er ekstra frivillige opgaver til dem som er færdig med de regulære opgaver, men har tid og lyst til mere.

# Ekstra Opgaver -- Lille Dag

## Ekstra Opgave 1: Areal under en parabel

Lad $N$ være et positivt reelt tal og $n$ et naturligt tal. Vi definerer $d=N/n$. Som kendt fra gymnasiet kan arealet mellem parablen og første aksen fra $x=0$ til $x=N$ beregnes som følger:

$$\int_0^N x^2 dx =\frac13 N^3-\frac13 0^3=\frac13 N^3.$$

I denne opgave undersøges i hvilken grad dette areal tilnærmes med den endelige sum $\sum_{k=1}^n d\cdot(kd)^2$. 
Situationen illustreres i følgende figur:

![](./uge6_6.png)

+++

### Spørgsmål a

Brug tegningen til at indse at 

$$\frac13 N^3 \le \sum_{k=1}^n d\cdot (kd)^2.$$

+++

### Spørgsmål b

Det kan vises at for alle naturlige tal $n$ og alle komplekse tal $a,b_1,\dots,b_n$ det gælder at 

$$a \cdot (b_1+\cdots+b_n)=a\cdot b_1+\cdots + a \cdot b_n.$$

Bruge dette til at indse at

$$d^3\sum_{k=1}^n k^2=\sum_{k=1}^n d^3\cdot k^2=\sum_{k=1}^n d\cdot (kd)^2.$$

+++

### Spørgsmål c

Brug induktion efter $n$ til at indse at $\sum_{k=1}^n k^2=\frac13 n(n+1/2)(n+1)$ for alle naturlige tal $n$.

```{hint}
:class: dropdown
I induktionsskridtet når man på et tidspunkt til formlen 

$$\frac13 (n-1)(n-1/2)n+n^2.$$

Man kan gange alt ud og se om det giver det rigtige, men det kan bespare en hel del arbejde først at tage $n$ udenfor parenteser:

$$\frac13 (n-1)(n-1/2)n+n^2=n\left( \frac13 (n-1)(n-1/2)+n\right).$$

Prøv nu først at indse at udtrykket indenfor parenteserne er lig med $\frac13 (n+1/2)(n+1).$
```

```{admonition} Svar
:class: dropdown
Induktionsstarten: Hvis $n=1$, så gælder formlen, fordi $\sum_{k=1}^1 k^2=1^2=1$ og $\frac13 1(1+1/2)(1+1)=\frac{3}{3}=1$.

Induktionsskridtet: Hvis $n \ge 2$ og der antages induktionshypotesen at $\sum_{k=1}^{n-1} k^2=\frac13 (n-1)(n-1/2)n$, så fås

$$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \sum_{k=1}^{n-1} k^2 +n^2=\frac13 (n-1)(n-1/2)n+n^2.$$

For eksempel ved at følge ovenstående vink, så kan man indse at $\frac13 (n-1)(n-1/2)n+n^2=\frac13 n(n+1/2)(n+1)$, som betyder at induktionsskridtet holder. Induktionsprincippet medfører derfor at formlen $\sum_{k=1}^n k^2=\frac13 n(n+1/2)(n+1)$ holder for alle naturlige tal $n$.
```

+++

### Spørgsmål d

Vis nu at $\sum_{k=1}^n d\cdot (kd)^2=\frac{1}{3}N(N+d/2)(N+d)$. 

```{admonition} Svar
:class: dropdown
Fra de forrige spørgsmål fås

$$\sum_{k=1}^n d\cdot (kd)^2=d^3\sum_{k=1}^n k^2=d^3\left(\frac13 n(n+1/2)(n+1)\right)=\frac{1}{3}N(N+d/2)(N+d).$$

I den sidste lighed bruges at $N=dn$. 

Bemærkning: ligningen medfører at hvis $N$ holdes fast og $n$ går mod uendeligt, så går $d$ mod nul og summen går derfor mod $\frac13 N^3,$ som netop er arealet under parablen.
```