---
jupytext:
  formats: md:myst
  text_representation:
    extension: .md
    format_name: myst
    format_version: '0.8'
    jupytext_version: 1.4.1+dev
kernelspec:
  display_name: Python 3
  language: python
  name: python3
---

(section:uge5S)=

Nedenstående opgaver er ekstra frivillige opgaver til dem som er færdig med de regulære opgaver, men har tid og lyst til mere.

# Ekstra Opgaver -- Store Dag

## Ekstra Opgave 1: Multiplicitet og afledte

For et givet polynomium $p(Z)=a_0+a_1Z+a_2Z^2+\cdot+a_nZ^n$ defineres dets afledte $p'(Z)$ på den sædvanlige måde:

$$p'(Z)=a_1+2a_2Z+\cdots+na_nZ^{n-1}.$$

I denne opgave antages at $p(Z) \in \mathbb{C}[Z]$ er et polynomium af grad mindst to.

+++

### Spørgsmål a

Antag at $\lambda \in \mathbb{C}$ er en rod i $p(Z)$ af multiplicitet mindst to. Vis at i så fald $p(\lambda)=0$ og $p'(\lambda)=0$.

```{hint}
:class: dropdown
Hvis $\lambda \in \mathbb{C}$ er en rod i $p(Z)$ af multiplicitet mindst to, så findes et polynomium $q(Z)$ således at $p(Z)=(Z-\lambda)^2\cdot q(Z)$. Hvad medfører denne formel om den afledte af $p(Z)$?
```

+++

### Spørgsmål b

Antag at $p(\lambda)=0$ og $p'(\lambda)=0$ for et vist komplekst tal $\lambda$. Vis at i så fald, $\lambda$ er en rod i $p(Z)$ af multiplicitet mindst to.

+++

### Spørgsmål c

Konkludér at $\lambda$ er en rod i $p(Z)$ af multiplicitet mindst to hvis og kun hvis $p(\lambda)=0$ og $p'(\lambda)=0$. Konkludér også at $\lambda$ er en rod i $p(Z)$ af multiplicitet et hvis og kun hvis $p(\lambda)=0$ og $p'(\lambda) \neq 0$.

---

## Ekstra Opgave 2: Secret sharing og divisionsalgoritmen

+++

Af en hemmelig kode er det kendt at den er lig med $p(10)$, hvor $p(Z)$ er et vist polynomium af grad højest tre med heltalskoefficienter. 
En såkaldt share af koden gives til person A. 
Mere præcist er A's share defineret som resten $r_1(Z)$ som fås når divisionsalgoritmen udføres på $p(Z)$ og $d(Z)=Z^2+1$. 
En anden share gives til person B. 
B's share er defineret som resten  $r_2(Z)$ som fås når divisionsalgoritmen udføres på $p(Z)$ og $d(Z)=Z^2-1.$ 

+++

### Spørgsmål a

Person A har fået at vide at $r_1(Z)=7Z-2$. Vælg to forskellige polynomier $p_1(Z)$ og $p_2(Z)$ med heltalskoefficienter og af grad højest tre, som begge giver rest $7Z-2$ hvis divisionsalgoritmen udføres på dem med $d(Z)=Z^2+1$. 
Konkluder at person A ikke kan finde den hemmelige kode alene. 
(På lignende måde kan man demonstrere at person B alene ikke kan finde den hemmelige kode).

+++

### Spørgsmål b

Personer A og B mødes og deler deres share med hinanden. 
Det viser sig nu at $r_1(Z)=7Z-2$ og $r_2(Z)=11Z+18$. Find den hemmelige kode.

```{admonition} Svar
:class: dropdown
Koden er $3098$ (og $p(Z)=2Z^3+10Z^2+9Z+8$).
```