---
jupytext:
  formats: md:myst
  text_representation:
    extension: .md
    format_name: myst
    format_version: '0.8'
    jupytext_version: 1.4.1+dev
kernelspec:
  display_name: Python 3
  language: python
  name: python3
---

(section:uge6S)=

Nedenstående opgaver er ekstra frivillige opgaver til dem som er færdig med de regulære opgaver, men har tid og lyst til mere.

# Ekstra Opgaver -- Store Dag

## Ekstra Opgave 1: Rækkeoperationer og løsningsmængen af et lineært ligningssystem

Sætning 6.2.1 fra lærebogen er centralt i teorien om lineære ligningssystemer: den siger at man kan udføre elementære rækkeoperationer uden at ændre løsningsmængden. 

+++

### Spørgsmål a

Læse sætningen og dens bevis og overbevis digselv om at beviset holder. 

+++

### Spørgsmål b

Beviset gennemgår faktisk kun effekten af rækkeoperationer af typen $R_i \leftarrow R_i+dR_j$. Fuldstændiggør nu beviset ved at tjekke at sætningen også holder for rækkeoperationer af typen $R_i \leftrightarrow R_j$ og $R_j \leftarrow c\cdot R_j$.

---

## Ekstra Opgave 2: Interpolationsproblemet

I hele opgaven, lad $n$ være et naturligt tal og $p(Z)=a_0+a_1Z+\cdots a_{n-1}Z^{n-1}$ et polynomium med reelle koefficienter. Desuden betegnes med $c_1,c_2,\dots,c_{n}$ forskellige reelle tal.

+++

### Spørgsmål a

Lad $b_1,b_2,\dots,b_{n}$ være reelle tal (ikke nødvendigvist forskellige fra hinanden). Givet $b_1,b_2,\dots,b_{n}$ og $c_1,c_2,\dots,c_{n}$ som før, da kaldes de $n$ ligninger givet ved $p(c_1)=b_1, p(c_2)=b_2, \dots, p(c_{n})=b_n$ for interpolationsproblemet.

Vis nu at de $n$ ligninger i interpolationsproblemet kan skrives som $n$ lineære ligninger i de ubekendte $a_0,a_1,\dots,a_{n-1}.$ Hvad er koefficientmatricen af disse lineære ligninger?

```{admonition} Svar
:class: dropdown
$$ 
\left\{
  \begin{array}{rrrrr} 
1  & c_1 & \dots & c_1^{n-1}\\ 
1  & c_2 & \dots & c_2^{n-1}\\ 
\vdots & \vdots &  & \vdots\\
1  & c_n & \dots & c_n^{n-1}\\ 
\end{array}
\right.
$$
```

+++

### Spørgsmål b

Som før, lad $c_1,\dots,c_n$ være forskellige reelle tal. En matrix på formen 

$$ 
\left\{
  \begin{array}{rrrrr} 
1  & c_1 & \dots & c_1^{n-1}\\ 
1  & c_2 & \dots & c_2^{n-1}\\ 
\vdots & \vdots &  & \vdots\\
1  & c_n & \dots & c_n^{n-1}\\ 
\end{array}
\right.
$$

kaldes en Vandermonde matrix. Vi vil betegne matricen med $\mathbf V(c_1,\dots,c_n)$. Vis for $n=1$, $n=2$ og $n=3$ ved hjælp af elementære rækkeoperationer at den reducerede trappeform af en Vandermonde matrix $\mathbf V(c_1,\dots,c_n)$ har $n$ pivotelementer.

+++

### Spørgsmål c

Givet $b_1,b_2,\dots,b_{n}$ og $c_1,c_2,\dots,c_{n}$ som før. Vis at der findes højest ét polynomium $p(Z)$ af grad højst $n-1$ som løser det tilhørende interpolationsproblemet $p(c_1)=b_1, p(c_2)=b_2, \dots, p(c_{n})=b_n$. Konkludér at $\mathbf V(c_1,\dots,c_n)$ har rang $n$ (dvs. at den reducerede trappeform af $\mathbf V(c_1,\dots,c_n)$ har præcist $n$ pivotelementer).

```{hint}
:class: dropdown
Hvis der er to forskellige løsninger $p_1(Z)$ og $p_2(Z)$, hvilket interpolationsproblem er $p_1(Z)-p_2(Z)$ så løsning til?
```

```{hint}
:class: dropdown
Hvor mange rødder kan et polynomium af grad $n-1$ forskelligt fra nulpolynomiet have?
```

+++

### Spørgsmål d

Givet $b_1,b_2,\dots,b_{n}$ og $c_1,c_2,\dots,c_{n}$ som før. Vis at der findes netop ét polynomium $p(Z)$ af grad højst $n-1$ som løser det tilhørende interpolationsproblemet $p(c_1)=b_1, p(c_2)=b_2, \dots, p(c_{n})=b_n$.

```{hint}
:class: dropdown
Det er tilstrækkeligt at vise at matricen fundet i spørgsmål a, har en trappeform med $n$ pivotelementer (dvs. at denne matrix har rang $n$).
```