---
jupytext:
  formats: md:myst
  text_representation:
    extension: .md
    format_name: myst
    format_version: '0.8'
    jupytext_version: 1.4.1+dev
kernelspec:
  display_name: Python 3
  language: python
  name: python3
---

(section:uge7L)=

Nedenstående opgaver er ekstra frivillige opgaver til dem, som er færdige med de regulære opgaver, men har tid og lyst til mere.

# Ekstra Opgaver -- Lille Dag

## Ekstra Opgave 1: Cramers regel

Lad et lineært ligningsystem være givet på matrixform $\mathbf A \cdot \mathbf x = \mathbf b$. Det antages at $\mathbf A \in \mathbb{F}^{n \times n}$ er en kvadratisk matrix som opfylder at $\det(\mathbf A) \neq 0$. 

+++

### Spørgsmål a

Lad $k$ være et heltal mellem $1$ og $n$ og betegn med $\mathbf X_k$ matricen som fås når den $k$-te søjle i identitetsmatricen $\mathbf I_n$ bliver erstattet med $\mathbf x$. Vis at $\det(\mathbf X_k)=x_k$.

+++

### Spørgsmål b

Lad igen $k$ være et heltal mellem $1$ og $n$ og betegn med $\mathbf M_k$ matricen som fås når den $k$-te søjle i matricen $\mathbf A$ bliver erstattet med $\mathbf b$. Vis at $\mathbf A \cdot \mathbf x = \mathbf b$ medfører at $\mathbf A \cdot \mathbf X_k= \mathbf M_k$.

+++

### Spørgsmål c

Vis at $x_k$, den $k$-te indgang af vektoren $\mathbf x$, opfylder $x_k=\det(\mathbf M_k)/\det(\mathbf A)$. Denne måde at beregne løsningen til lineære ligningssystemer med en invertibel koefficientmatrix, kaldes Cramers regel.

```{hint}
:class: dropdown
Beregn determinanten af $\mathbf M_k$.
```