---
jupytext:
  formats: md:myst
  text_representation:
    extension: .md
    format_name: myst
    format_version: '0.8'
    jupytext_version: 1.4.1+dev
kernelspec:
  display_name: Python 3
  language: python
  name: python3
---

(section:uge7S)=

Nedenstående opgaver er ekstra frivillige opgaver til dem, som er færdige med de regulære opgaver, men har tid og lyst til mere.

# Ekstra Opgaver -- Store Dag

## Ekstra Opgave 1: Entydighed af inverse matricer

I Definition 7.3.1 fra lærebogen skrives at den inverse matrix af en kvadratisk matrix $\mathbf A$ betegnes med $\mathbf A^{-1}$, hvis den findes. Det er underforstået i denne notation at en kvadratisk matrix kun kan have én invers matrix. Målet med opgaven er at indse at det er sandt.

+++

### Spørgsmål a

Antage at for en givet kvadratisk matrix $\mathbf A \in \mathbb{F}^{n \times n}$, der er to matrices $\mathbf B$ og $\mathbf C$ således at 

$${\mathbf A}\cdot{\mathbf B}={\mathbf B}\cdot{\mathbf A}={\mathbf I}_n$$ 

og  

$${\mathbf A}\cdot{\mathbf C}={\mathbf C}\cdot{\mathbf A}={\mathbf I}_n.$$ 

Vis at i så fald ${\mathbf B}={\mathbf C}$. Konkludér at hvis en matrix har en inverse, at denne inverse er entydigt bestemt. 

---

## Ekstra Opgave 2: Beregning af matrixprodukter

Givet er en invertibel matrix $\mathbf A \in \mathbb{F}^{n \times n}$ og en matrix $\mathbf B \in \mathbb{F}^{n \times m}$.

+++

### Spørgsmål a

Der opstilles $n \times (n+m)$ matricen $[\mathbf {A} | \mathbf{B}]$, ved at sætte $\mathbf B$'s søjler efter $\mathbf A$'s søjler. For eksempel, hvis 

$$\mathbf A = \left[
  \begin{array}{rrr} 
1  &  1 & 2\\ 
0  & 2 & 1 \\ 
2  & 0 & 4\\ 
\end{array}
\right] 
\quad \text{ og } \quad 
\mathbf B = \left[
  \begin{array}{rrr} 
2  &  0 & 0 & 2\\ 
-2  & 0 & 1 & 3\\ 
0 & 3 & 1 & -1\\ 
\end{array}
\right],
$$

så fås

$$[\mathbf {A} | \mathbf{B}]=\left[
  \begin{array}{rrr} 
1  &  1 & 2 & 2  &  0 & 0 & 2\\ 
0  & 2 & 1 & -2  & 0 & 1 & 3\\ 
2  & 0 & 4 & 0 & 3 & 1 & -1\\ 
\end{array}
\right].$$

Forklar at den reducerede trappeform for matricen $[\mathbf {A} | \mathbf{B}]$ generelt har udseende $[\mathbf {I}_n | \mathbf{C}]$ for en vis $n \times m$ matrix $\mathbf C$.


```{hint}
:class: dropdown
Det oplystes at matricen $\mathbf A$ er invertibel. Hvad betyder det for $\mathbf A$'s trappeform?
```

+++

### Spørgsmål b

Kan du give en formel for matricen $\mathbf C$ fra de forrige spørgsmål?

```{hint}
:class: dropdown
Hvis $\mathbf B$ kun indeholder én søjle (dvs. hvis $m=1$), hvad er så løsningen til det lineare ligningssystem $\mathbf A \cdot \mathbf x=\mathbf B$? 
```

```{admonition} Svar
:class: dropdown
$\mathbf C={\mathbf A}^{-1}\cdot {\mathbf B}.$ Et særtilfælde er følgende: hvis $\mathbf B = \mathbf I_n$, så gælder $\mathbf C={\mathbf A}^{-1}$, som er i overenstemmlse med proceduren givet i Afsnit 7.3 i lærebogen for at beregne $\mathbf A^{-1}$.
```

+++

### Spørgsmål c

Givet en invertibel matrix $\mathbf A \in \mathbb{F}^{n \times n}$ som før og matricer $\mathbf B_1 \in \mathbb{F}^{n \times m_1}, \mathbf B_2 \in \mathbb{F}^{n \times m_2}, \dots, \mathbf B_r \in \mathbb{F}^{n \times m_r}$. 
Vis at ved at beregne den reducerede trappeform af matricen $[\mathbf {A} | \mathbf{B_1} | \mathbf{B_2} | \dots | \mathbf{B_r}]$, man kan bestemme matricerne ${\mathbf A}^{-1}\cdot {\mathbf B_1}, {\mathbf A}^{-1}\cdot {\mathbf B_2}, \dots, {\mathbf A}^{-1}\cdot {\mathbf B_r}$ på én gang.