---
jupytext:
  formats: md:myst
  text_representation:
    extension: .md
    format_name: myst
    format_version: '0.8'
    jupytext_version: 1.4.1+dev
kernelspec:
  display_name: Python 3
  language: python
  name: python3
---

(section:uge8L)=

Nedenstående opgaver er ekstra frivillige opgaver til dem, som er færdige med de regulære opgaver, men har tid og lyst til mere.

# Ekstra Opgaver -- Lille Dag

## Ekstra Opgave 1: Mere om $\beta$-koordinater

I denne opgave betragtes $\beta$-koordinatvektorerne som defineret i Definition 9.5.1. Især bruges den samme notation som introduceret i Definition 9.5.1.

+++

### Spørgsmål a

Vis at for vilkårlige vektorer $\mathbf w, \tilde{\mathbf w}$ og vilkærlige skalarer $c,\tilde{c} \in \mathbb{F},$ det gælder at

$$[c\cdot \mathbf  w +\tilde{c}\cdot \tilde{\mathbf w}]_\beta=c\cdot[ \mathbf  w]_\beta +\tilde{c}\cdot [\tilde{\mathbf w}]_\beta.$$ 

+++

### Spørgsmål b

Konkludér fra spørgsmål a at vektorerne $[\mathbf w_1]_\beta, \dots, [\mathbf w_d]_\beta$ i $\mathbb{F}^d$ er lineært uafhængige. 


+++

### Spørgsmål c

Konkludér fra spørgsmål b at listen $([\mathbf w_1]_\beta, \dots, [\mathbf w_d]_\beta)$ er en ordnet basis for $\mathbb{F}^d$.