---
jupytext:
  formats: md:myst
  text_representation:
    extension: .md
    format_name: myst
    format_version: '0.8'
    jupytext_version: 1.4.1+dev
kernelspec:
  display_name: Python 3
  language: python
  name: python3
---

(section:uge8S)=

Nedenstående opgaver er ekstra frivillige opgaver til dem, som er færdige med de regulære opgaver, men har tid og lyst til mere.

# Ekstra Opgaver -- Store Dag

## Ekstra Opgave 1: Udvidelsesprincippet

Lad $\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_n$ være vektorer i $\mathbb{F}^m$ og lad $V$ være defineret ved $V=\mathrm{Span}(\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_n)$. Definér $d=\dim(V)$ og antag at $\mathbf w_1,\dots,\mathbf w_e$ er lineært uafhængige vektorer i $V$, hvor $e$ er et heltal som opfylder $e \le d$.

+++

### Spørgsmål a

Vis at der findes vektorer $\mathbf w_{e+1},\dots,\mathbf w_d$ i $V$ således at $(\mathbf w_1,\dots,\mathbf w_d)$
er en ordnet basis for $V$. Med andre ord: hvert sæt af lineært uafhængige vektorer i $V$ kan udvides til en ordnet basis for $V$.

```{hint}
:class: dropdown
Vektorerne $\mathbf w_1,\dots,\mathbf w_e,\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_n$ udspænder $V$. Kan Sætning 9.2.1 nu bruges?
```


---

## Ekstra Opgave 2: Sideklasser 

Lad $\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_n$ være vektorer i $\mathbb{F}^m$ og lad $V$ være defineret ved $V=\mathrm{Span}$ $\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_n$. En sideklasse (på engelsk: coset) af $V$ ved en vektor $\mathbf w \in \mathbb{F}^n$ defineres som følger:

$$\mathbf w + V =\{\mathbf w+\mathbf v \, | \, \mathbf v \in V \}.$$


+++

### Spørgsmål a

Vis at løsningsmængden til et inhomogent system af lineære ligninger er en sideklasse af løsningsmængden til det tilhørende homogene system. 

+++

### Spørgsmål b

Vis at $\mathbf w_1 + V = \mathbf w_2 + V$ hvis og kun hvis $\mathbf w_1-\mathbf w_2 \in V.$ Konkluder at forskellen af to partikulære løsninger til et inhomogent ligningssystem er en løsning til det tilhørende homogene ligningssystem.