Nedenstående opgaver er ekstra frivillige opgaver til dem som er færdig med de regulære opgaver, men har tid og lyst til mere.

Ekstra Opgaver – Lille Dag

Ekstra Opgave 1: Mere om de hyperbolske funktioner

I Ekstra Opgave 2 fra Uge 2 Store Dag, blev de hyperbolske funktioner introduceret:

\(\mathrm{sinh}(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\) og \(\mathrm{cosh}(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}.\)

Spørgsmål a

Notationen \(\mathrm{cosh}(x)\) og \(\mathrm{sinh}(x)\) blev valgt, fordi de hyperbolske funktioner nogle gange minder om de bedre kendte cosinus og sinus funktioner \(\cos(x)\) og \(\sin(x)\). Det vides for eksempel at \(\cos(x)^2+\sin(x)^2=1\) og at derfor punktet \((\cos(x),\sin(x))\) ligger på enhedscirklen. Vis nu at \(\mathrm{cosh}(x)^2-\mathrm{sinh}(x)^2=1\).

Bemærkning: Det viser sig at punktet \((\mathrm{cosh}(x),\mathrm{sinh}(x))\) ligger på en hyperbol. Dette forklarer hvorfor \(\mathrm{cosh}\) og \(\mathrm{sinh}\) kaldes de hyperbolske funktioner.

Spørgsmål b

Inspireret af formlen \(\tan(x)=\sin(x)/\cos(x)\), lad os for alle \(x \in \mathbb{R}\) definere \(\mathrm{tanh}(x)=\mathrm{sinh}(x)/\mathrm{cosh}(x)\). Funktionen \(\mathrm{tanh}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) defineret ved \(x \mapsto \mathrm{tanh}(x)\) kaldes den hyperbolske tangens. Hvad er funktionens billedmængde?

Spørgsmål c

Vis at \(\mathrm{tanh}(x)=(e^{2x}-1)/(e^{2x}+1)\) og brug dette til at finde et udtryk for den inverse hyperbolske tangens.

Hint

Funktionen \(\mathrm{tanh}: \mathbb{R} \to \mathbf{R}\) er ikke surjektiv og har derfor ingen invers funktion. Man kan dog betragte den lignende funktion \(\mathrm{tanh}: \mathbb{R} \to B\), hvor \(B\) er billedmængden fundet i spørgsmål b. Det er denne funktion som viser sig til at have en invers funktion.