Nedenstående opgaver er ekstra frivillige opgaver til dem som er færdig med de regulære opgaver, men har tid og lyst til mere.

Ekstra Opgaver – Lille Dag

Ekstra Opgave 1: Den komplekse logaritme

I denne opgave gives en måde at definere logaritmen af et komplekse tal forskellig fra nul. Mere præcist defineres funktionen \(\mathrm{Log}: \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{C}\) ved forskriften \(\mathrm{Log}(z)=\ln(|z|)+i \mathrm{Arg}(z).\)

Spørgsmål a

Tjek at for \(z \in \mathbb{R}_{>0}\) det gælder at \(\mathrm{Log}(z)=\ln(z)\). Bestem også \(\mathrm{Log}(z)\) for \(z \in \mathbb{R}_{<0}\).

Svar

Hvis \(z\in \mathbb{R}_{>0}\) gælder \(\mathrm{Log}(z)=\ln(z)+i0=\ln(z)\). Hvis \(z\in \mathbb{R}_{<0}\) gælder \(\mathrm{Log}(z)=\ln(-z)+i \pi\).

Spørgsmål b

Vis at \(e^{\mathrm{Log}(z)}=z\) for alle \(z \in \mathbb{C}\setminus \{0\}\). Konkludér at \(w=\mathrm{Log}(z)\) er løsning til ligningen \(e^w=z\), for alle \(z \in \mathbb{C}\setminus \{0\}\).

Spørgsmål c

Den naturlige logaritme \(\ln\) er den inverse til (den reelle) eksponentialfunktionen. Find \(z \in \mathbb{C}\) således at \(\mathrm{Log}(e^z) \neq z\). Konkludér at \(\mathrm{Log}(z)\) ikke er den inverse funktion til den komplekse eksponentialfunktionen.

Hint

I definitionen af \(\mathrm{Log}(z)\) blev hovedargumentet af \(z\) brugt. Et komplekst tal kan dog have mange argumenter.

Spørgsmål d

Den naturlige logaritme \(\ln\) opfylder at \(\ln(x_1x_2)=\ln(x_1)+ln(x_2)\) for alle positive reelle tal. Vis at det ikke er sandt at \(\mathrm{Log}(z_1z_2)=\mathrm{Log}(z_1)+\mathrm{Log}(z_2)\) for alle komplekse tal forskellige fra nul.

Hint

For at vise at formlen \(\mathrm{Log}(z_1z_2)=\mathrm{Log}(z_1)+\mathrm{Log}(z_2)\) ikke er sandt for alle komplekse tal forskellige fra nul, er det nok at finde et modeksempel.

Svar

Formlen er ikke sandt fordi \(\mathrm{Log}((-1)^2) \neq \mathrm{Log}(-1)+\mathrm{Log}(-1).\)