Nedenstående opgaver er ekstra frivillige opgaver til dem som er færdig med de regulære opgaver, men har tid og lyst til mere.
Ekstra Opgaver – Store Dag#
Ekstra Opgave 1: Heltalspotenser og polær form#
Denne opgave er en fortsættelse at Opgave 9.
Spørgsmål a#
Lad \(n\) være et naturligt tal. Vis følgende:
og
Hint
Vis først at \((-1+\sqrt{3}i)^{3}=2^3\). Hvad kan nu siges om \((-1+\sqrt{3}i)^{3n}\,\)?
Ekstra Opgave 2: Komplekse tal og Pythagoræiske tripler#
Et Pythagoræisk tripel \((a,b,c)\) består ud af tre naturlige tal således at \(a>b\) og \(a^2+b^2=c^2\). Et eksempel er \((4,3,5).\)
Spørgsmål a#
Vis at hvis et tripel \((a,b,c)\) af naturlige tal er et Pythagoræisk tripel, så gælder at det komplekse tal \(z=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}i\) opfylder \(|z|=1\) og \(\mathrm{Re}(z)>\mathrm{Im}(z)\).
Spørgsmål b#
Lad os nu antage at et komplekst tal \(z\) af opfylder \(|z|=1\) og \(\mathrm{Re}(z)>\mathrm{Im}(z)\) og at \(z\) kan skrives på formen \(z=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}i\), hvor \(a,b\) og \(c\) er naturlige tal. Vis at \((a,b,c)\) er et Pythagoræisk tripel.
Spørgsmål c#
Brug ovenstående indsigter og komplekse tal til at konstruere andre Pythagoræiske tripler ud fra triplet \((4,3,5).\)
Hint
Hvis tallet \(z=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}i\) giver anledning til det Pythagoræiske tripel \((a,b,c)\), hvad med tallet \(z^2\) (eller eventuelt \(i \cdot \overline{z}^2\))?