Ekstra Opgaver – Lille Dag

Ekstra Opgaver – Lille Dag#

Ekstra Opgave 1: Areal under en parabel#

Lad \(N\) være et positivt reelt tal og \(n\) et naturligt tal. Vi definerer \(d=N/n\). Som kendt fra gymnasiet kan arealet mellem parablen og første aksen fra \(x=0\) til \(x=N\) beregnes som følger:

\[\int_0^N x^2 dx =\frac13 N^3-\frac13 0^3=\frac13 N^3.\]

I denne opgave undersøges i hvilken grad dette areal tilnærmes med den endelige sum \(\sum_{k=1}^n d\cdot(kd)^2\). Situationen illustreres i følgende figur:

Spørgsmål a#

Brug tegningen til at indse at

\[\frac13 N^3 \le \sum_{k=1}^n d\cdot (kd)^2.\]

Spørgsmål b#

Det kan vises at for alle naturlige tal \(n\) og alle komplekse tal \(a,b_1,\dots,b_n\) det gælder at

\[a \cdot (b_1+\cdots+b_n)=a\cdot b_1+\cdots + a \cdot b_n.\]

Bruge dette til at indse at

\[d^3\sum_{k=1}^n k^2=\sum_{k=1}^n d^3\cdot k^2=\sum_{k=1}^n d\cdot (kd)^2.\]

Spørgsmål c#

Brug induktion efter \(n\) til at indse at \(\sum_{k=1}^n k^2=\frac13 n(n+1/2)(n+1)\) for alle naturlige tal \(n\).

Hint

I induktionsskridtet når man på et tidspunkt til formlen

\[\frac13 (n-1)(n-1/2)n+n^2.\]

Man kan gange alt ud og se om det giver det rigtige, men det kan bespare en hel del arbejde først at tage \(n\) udenfor parenteser:

\[\frac13 (n-1)(n-1/2)n+n^2=n\left( \frac13 (n-1)(n-1/2)+n\right).\]

Prøv nu først at indse at udtrykket indenfor parenteserne er lig med \(\frac13 (n+1/2)(n+1).\)

Svar

Induktionsstarten: Hvis \(n=1\), så gælder formlen, fordi \(\sum_{k=1}^1 k^2=1^2=1\) og \(\frac13 1(1+1/2)(1+1)=\frac{3}{3}=1\).

Induktionsskridtet: Hvis \(n \ge 2\) og der antages induktionshypotesen at \(\sum_{k=1}^{n-1} k^2=\frac13 (n-1)(n-1/2)n\), så fås

\[\sum_{k=1}^{n} k^2 = \sum_{k=1}^{n-1} k^2 +n^2=\frac13 (n-1)(n-1/2)n+n^2.\]

For eksempel ved at følge ovenstående vink, så kan man indse at \(\frac13 (n-1)(n-1/2)n+n^2=\frac13 n(n+1/2)(n+1)\), som betyder at induktionsskridtet holder. Induktionsprincippet medfører derfor at formlen \(\sum_{k=1}^n k^2=\frac13 n(n+1/2)(n+1)\) holder for alle naturlige tal \(n\).

Spørgsmål d#

Vis nu at \(\sum_{k=1}^n d\cdot (kd)^2=\frac{1}{3}N(N+d/2)(N+d)\).

Svar

Fra de forrige spørgsmål fås

\[\sum_{k=1}^n d\cdot (kd)^2=d^3\sum_{k=1}^n k^2=d^3\left(\frac13 n(n+1/2)(n+1)\right)=\frac{1}{3}N(N+d/2)(N+d).\]

I den sidste lighed bruges at \(N=dn\).

Bemærkning: ligningen medfører at hvis \(N\) holdes fast og \(n\) går mod uendeligt, så går \(d\) mod nul og summen går derfor mod \(\frac13 N^3,\) som netop er arealet under parablen.