Nedenstående opgaver er ekstra frivillige opgaver til dem som er færdig med de regulære opgaver, men har tid og lyst til mere.

Ekstra Opgaver – Store Dag

Ekstra Opgave 1: Multiplicitet og afledte

For et givet polynomium \(p(Z)=a_0+a_1Z+a_2Z^2+\cdot+a_nZ^n\) defineres dets afledte \(p'(Z)\) på den sædvanlige måde:

\[p'(Z)=a_1+2a_2Z+\cdots+na_nZ^{n-1}.\]

I denne opgave antages at \(p(Z) \in \mathbb{C}[Z]\) er et polynomium af grad mindst to.

Spørgsmål a

Antag at \(\lambda \in \mathbb{C}\) er en rod i \(p(Z)\) af multiplicitet mindst to. Vis at i så fald \(p(\lambda)=0\) og \(p'(\lambda)=0\).

Hint

Hvis \(\lambda \in \mathbb{C}\) er en rod i \(p(Z)\) af multiplicitet mindst to, så findes et polynomium \(q(Z)\) således at \(p(Z)=(Z-\lambda)^2\cdot q(Z)\). Hvad medfører denne formel om den afledte af \(p(Z)\)?

Spørgsmål b

Antag at \(p(\lambda)=0\) og \(p'(\lambda)=0\) for et vist komplekst tal \(\lambda\). Vis at i så fald, \(\lambda\) er en rod i \(p(Z)\) af multiplicitet mindst to.

Spørgsmål c

Konkludér at \(\lambda\) er en rod i \(p(Z)\) af multiplicitet mindst to hvis og kun hvis \(p(\lambda)=0\) og \(p'(\lambda)=0\). Konkludér også at \(\lambda\) er en rod i \(p(Z)\) af multiplicitet et hvis og kun hvis \(p(\lambda)=0\) og \(p'(\lambda) \neq 0\).

---

Ekstra Opgave 2: Secret sharing og divisionsalgoritmen

Af en hemmelig kode er det kendt at den er lig med \(p(10)\), hvor \(p(Z)\) er et vist polynomium af grad højest tre med heltalskoefficienter. En såkaldt share af koden gives til person A. Mere præcist er A’s share defineret som resten \(r_1(Z)\) som fås når divisionsalgoritmen udføres på \(p(Z)\) og \(d(Z)=Z^2+1\). En anden share gives til person B. B’s share er defineret som resten \(r_2(Z)\) som fås når divisionsalgoritmen udføres på \(p(Z)\) og \(d(Z)=Z^2-1.\)

Spørgsmål a

Person A har fået at vide at \(r_1(Z)=7Z-2\). Vælg to forskellige polynomier \(p_1(Z)\) og \(p_2(Z)\) med heltalskoefficienter og af grad højest tre, som begge giver rest \(7Z-2\) hvis divisionsalgoritmen udføres på dem med \(d(Z)=Z^2+1\). Konkluder at person A ikke kan finde den hemmelige kode alene. (På lignende måde kan man demonstrere at person B alene ikke kan finde den hemmelige kode).

Spørgsmål b

Personer A og B mødes og deler deres share med hinanden. Det viser sig nu at \(r_1(Z)=7Z-2\) og \(r_2(Z)=11Z+18\). Find den hemmelige kode.

Svar

Koden er \(3098\) (og \(p(Z)=2Z^3+10Z^2+9Z+8\)).