Nedenstående opgaver er ekstra frivillige opgaver til dem, som er færdige med de regulære opgaver, men har tid og lyst til mere.

Ekstra Opgaver – Store Dag

Ekstra Opgave 1: Rækkeoperationer og løsningsmængen af et lineært ligningssystem

Sætning 6.2.1 fra lærebogen er centralt i teorien om lineære ligningssystemer: den siger at man kan udføre elementære rækkeoperationer uden at ændre løsningsmængden.

Spørgsmål a

Læse sætningen og dens bevis og overbevis digselv om at beviset holder.

Spørgsmål b

Beviset gennemgår faktisk kun effekten af rækkeoperationer af typen \(R_i \leftarrow R_i+dR_j\). Fuldstændiggør nu beviset ved at tjekke at sætningen også holder for rækkeoperationer af typen \(R_i \leftrightarrow R_j\) og \(R_j \leftarrow c\cdot R_j\).

---

Ekstra Opgave 2: Interpolationsproblemet

I hele opgaven, lad \(n\) være et naturligt tal og \(p(Z)=a_0+a_1Z+\cdots a_{n-1}Z^{n-1}\) et polynomium med reelle koefficienter. Desuden betegnes med \(c_1,c_2,\dots,c_{n}\) forskellige reelle tal.

Spørgsmål a

Lad \(b_1,b_2,\dots,b_{n}\) være reelle tal (ikke nødvendigvist forskellige fra hinanden). Givet \(b_1,b_2,\dots,b_{n}\) og \(c_1,c_2,\dots,c_{n}\) som før, da kaldes de \(n\) ligninger givet ved \(p(c_1)=b_1, p(c_2)=b_2, \dots, p(c_{n})=b_n\) for interpolationsproblemet.

Vis nu at de \(n\) ligninger i interpolationsproblemet kan skrives som \(n\) lineære ligninger i de ubekendte \(a_0,a_1,\dots,a_{n-1}.\) Hvad er koefficientmatricen af disse lineære ligninger?

Svar

\[\begin{split} \left[ \begin{array}{rrrrr} 1 & c_1 & \dots & c_1^{n-1}\\ 1 & c_2 & \dots & c_2^{n-1}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 1 & c_n & \dots & c_n^{n-1}\\ \end{array} \right] \end{split}\]

Spørgsmål b

Som før, lad \(c_1,\dots,c_n\) være forskellige reelle tal. En matrix på formen

\[\begin{split} \left[ \begin{array}{rrrrr} 1 & c_1 & \dots & c_1^{n-1}\\ 1 & c_2 & \dots & c_2^{n-1}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 1 & c_n & \dots & c_n^{n-1}\\ \end{array} \right] \end{split}\]

kaldes en Vandermonde matrix. Vi vil betegne matricen med \(\mathbf V(c_1,\dots,c_n)\). Vis for \(n=1\), \(n=2\) og \(n=3\) ved hjælp af elementære rækkeoperationer at den reducerede trappeform af en Vandermonde matrix \(\mathbf V(c_1,\dots,c_n)\) har \(n\) pivotelementer.

Spørgsmål c

Givet \(b_1,b_2,\dots,b_{n}\) og \(c_1,c_2,\dots,c_{n}\) som før. Vis at der findes højest ét polynomium \(p(Z)\) af grad højst \(n-1\) som løser det tilhørende interpolationsproblemet \(p(c_1)=b_1, p(c_2)=b_2, \dots, p(c_{n})=b_n\).

Hint

Hvis der er to forskellige løsninger \(p_1(Z)\) og \(p_2(Z)\), hvilket interpolationsproblem er \(p_1(Z)-p_2(Z)\) så løsning til?

Hint

Hvor mange rødder kan et polynomium af grad \(n-1\) forskelligt fra nulpolynomiet have?

Spørgsmål d

For et givet \(i\) mellem \(1\) og \(n\), betragt polynomiet

\[L_i(x)=\dfrac{(x-c_1) \cdot \cdots \cdot (x-c_{i-1}) \cdot (x-c_{i+1})\cdot \cdots \cdot (x-c_{n})}{(c_i-c_1) \cdot \cdots \cdot (c_i-c_{i-1}) \cdot (c_i-c_{i+1})\cdot \cdots \cdot (c_i-c_{n})}.\]

Vis at \(L_i(x)\) er et polynomium af grad \(n-1\) som løser interpolationsproblemet, når \(b_1=\dots=b_{i-1}=0\), \(b_i=1\) og \(b_{i+1}=\dots=b_n=0.\)

Spørgsmål e

Givet \(b_1,b_2,\dots,b_{n}\) og \(c_1,c_2,\dots,c_{n}\) som før. Vis at der findes netop ét polynomium \(p(Z)\) af grad højst \(n-1\) som løser det tilhørende interpolationsproblemet \(p(c_1)=b_1, p(c_2)=b_2, \dots, p(c_{n})=b_n\). Konkludér at Vandermonde matricen \(V(c_1,\dots,c_n)\) har rang \(n\).

Hint

I lyset af spørgsmpål c er det tilstrækkeligt at vise at interpolationsproblemet har mindst én løsning. Prøv at vise dette ved at bruge polynomierne \(L_1(x),\dots,L_n(x)\) fra spørgsmål d.