Nedenstående opgaver er ekstra frivillige opgaver til dem, som er færdige med de regulære opgaver, men har tid og lyst til mere.

Ekstra Opgaver – Lille Dag

Ekstra Opgave 1: Cramers regel

Lad et lineært ligningsystem være givet på matrixform \(\mathbf A \cdot \mathbf x = \mathbf b\). Det antages at \(\mathbf A \in \mathbb{F}^{n \times n}\) er en kvadratisk matrix som opfylder at \(\det(\mathbf A) \neq 0\).

Spørgsmål a

Lad \(k\) være et heltal mellem \(1\) og \(n\) og betegn med \(\mathbf X_k\) matricen som fås når den \(k\)-te søjle i identitetsmatricen \(\mathbf I_n\) bliver erstattet med \(\mathbf x\). Vis at \(\det(\mathbf X_k)=x_k\).

Spørgsmål b

Lad igen \(k\) være et heltal mellem \(1\) og \(n\) og betegn med \(\mathbf M_k\) matricen som fås når den \(k\)-te søjle i matricen \(\mathbf A\) bliver erstattet med \(\mathbf b\). Vis at \(\mathbf A \cdot \mathbf x = \mathbf b\) medfører at \(\mathbf A \cdot \mathbf X_k= \mathbf M_k\).

Spørgsmål c

Vis at \(x_k\), den \(k\)-te indgang af vektoren \(\mathbf x\), opfylder \(x_k=\det(\mathbf M_k)/\det(\mathbf A)\). Denne måde at beregne løsningen til lineære ligningssystemer med en invertibel koefficientmatrix, kaldes Cramers regel.

Hint

Beregn determinanten af \(\mathbf M_k\).