Nedenstående opgaver er ekstra frivillige opgaver til dem, som er færdige med de regulære opgaver, men har tid og lyst til mere.

Ekstra Opgaver – Store Dag

Ekstra Opgave 1: Entydighed af inverse matricer

I Definition 7.3.1 fra lærebogen skrives at den inverse matrix af en kvadratisk matrix \(\mathbf A\) betegnes med \(\mathbf A^{-1}\), hvis den findes. Det er underforstået i denne notation at en kvadratisk matrix kun kan have én invers matrix. Målet med opgaven er at indse at det er sandt.

Spørgsmål a

Antage at for en givet kvadratisk matrix \(\mathbf A \in \mathbb{F}^{n \times n}\), der er to matrices \(\mathbf B\) og \(\mathbf C\) således at

\[{\mathbf A}\cdot{\mathbf B}={\mathbf B}\cdot{\mathbf A}={\mathbf I}_n\]

og

\[{\mathbf A}\cdot{\mathbf C}={\mathbf C}\cdot{\mathbf A}={\mathbf I}_n.\]

Vis at i så fald \({\mathbf B}={\mathbf C}\). Konkludér at hvis en matrix har en inverse, at denne inverse er entydigt bestemt.

---

Ekstra Opgave 2: Beregning af matrixprodukter

Givet er en invertibel matrix \(\mathbf A \in \mathbb{F}^{n \times n}\) og en matrix \(\mathbf B \in \mathbb{F}^{n \times m}\).

Spørgsmål a

Der opstilles \(n \times (n+m)\) matricen \([\mathbf {A} | \mathbf{B}]\), ved at sætte \(\mathbf B\)’s søjler efter \(\mathbf A\)’s søjler. For eksempel, hvis

\[\begin{split}\mathbf A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 2\\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 4\\ \end{array} \right] \quad \text{ og } \quad \mathbf B = \left[ \begin{array}{rrr} 2 & 0 & 0 & 2\\ -2 & 0 & 1 & 3\\ 0 & 3 & 1 & -1\\ \end{array} \right], \end{split}\]

så fås

\[\begin{split}[\mathbf {A} | \mathbf{B}]=\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 2 & 2 & 0 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 3\\ 2 & 0 & 4 & 0 & 3 & 1 & -1\\ \end{array} \right].\end{split}\]

Forklar at den reducerede trappeform for matricen \([\mathbf {A} | \mathbf{B}]\) generelt har udseende \([\mathbf {I}_n | \mathbf{C}]\) for en vis \(n \times m\) matrix \(\mathbf C\).

Hint

Det oplystes at matricen \(\mathbf A\) er invertibel. Hvad betyder det for \(\mathbf A\)’s trappeform?

Spørgsmål b

Kan du give en formel for matricen \(\mathbf C\) fra de forrige spørgsmål?

Hint

Hvis \(\mathbf B\) kun indeholder én søjle (dvs. hvis \(m=1\)), hvad er så løsningen til det lineare ligningssystem \(\mathbf A \cdot \mathbf x=\mathbf B\)?

Svar

\(\mathbf C={\mathbf A}^{-1}\cdot {\mathbf B}.\) Et særtilfælde er følgende: hvis \(\mathbf B = \mathbf I_n\), så gælder \(\mathbf C={\mathbf A}^{-1}\), som er i overenstemmlse med proceduren givet i Afsnit 7.3 i lærebogen for at beregne \(\mathbf A^{-1}\).

Spørgsmål c

Givet en invertibel matrix \(\mathbf A \in \mathbb{F}^{n \times n}\) som før og matricer \(\mathbf B_1 \in \mathbb{F}^{n \times m_1}, \mathbf B_2 \in \mathbb{F}^{n \times m_2}, \dots, \mathbf B_r \in \mathbb{F}^{n \times m_r}\). Vis at ved at beregne den reducerede trappeform af matricen \([\mathbf {A} | \mathbf{B_1} | \mathbf{B_2} | \dots | \mathbf{B_r}]\), man kan bestemme matricerne \({\mathbf A}^{-1}\cdot {\mathbf B_1}, {\mathbf A}^{-1}\cdot {\mathbf B_2}, \dots, {\mathbf A}^{-1}\cdot {\mathbf B_r}\) på én gang.