Nedenstående opgaver er ekstra frivillige opgaver til dem, som er færdige med de regulære opgaver, men har tid og lyst til mere.

Ekstra Opgaver – Lille Dag

Ekstra Opgave 1: Mere om \(\beta\)-koordinater

I denne opgave betragtes \(\beta\)-koordinatvektorerne som defineret i Definition 9.5.1. Især bruges den samme notation som introduceret i Definition 9.5.1.

Spørgsmål a

Vis at for vilkårlige vektorer \(\mathbf w, \tilde{\mathbf w}\) og vilkærlige skalarer \(c,\tilde{c} \in \mathbb{F},\) det gælder at

\[[c\cdot \mathbf w +\tilde{c}\cdot \tilde{\mathbf w}]_\beta=c\cdot[ \mathbf w]_\beta +\tilde{c}\cdot [\tilde{\mathbf w}]_\beta.\]

Spørgsmål b

Konkludér fra spørgsmål a at vektorerne \([\mathbf w_1]_\beta, \dots, [\mathbf w_d]_\beta\) i \(\mathbb{F}^d\) er lineært uafhængige.

Spørgsmål c

Konkludér fra spørgsmål b at listen \(([\mathbf w_1]_\beta, \dots, [\mathbf w_d]_\beta)\) er en ordnet basis for \(\mathbb{F}^d\).