Nedenstående opgaver er ekstra frivillige opgaver til dem, som er færdige med de regulære opgaver, men har tid og lyst til mere.
Ekstra Opgaver – Store Dag#
Ekstra Opgave 1: Udvidelsesprincippet#
Lad \(\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_n\) være vektorer i \(\mathbb{F}^m\) og lad \(V\) være defineret ved \(V=\mathrm{Span}(\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_n)\). Definér \(d=\dim(V)\) og antag at \(\mathbf w_1,\dots,\mathbf w_e\) er lineært uafhængige vektorer i \(V\), hvor \(e\) er et heltal som opfylder \(e \le d\).
Spørgsmål a#
Vis at der findes vektorer \(\mathbf w_{e+1},\dots,\mathbf w_d\) i \(V\) således at \((\mathbf w_1,\dots,\mathbf w_d)\) er en ordnet basis for \(V\). Med andre ord: hvert sæt af lineært uafhængige vektorer i \(V\) kan udvides til en ordnet basis for \(V\).
Hint
Vektorerne \(\mathbf w_1,\dots,\mathbf w_e,\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_n\) udspænder \(V\). Kan Sætning 9.2.1 nu bruges?
Ekstra Opgave 2: Sideklasser#
Lad \(\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_n\) være vektorer i \(\mathbb{F}^m\) og lad \(V\) være defineret ved \(V=\mathrm{Span}\) \(\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_n\). En sideklasse (på engelsk: coset) af \(V\) ved en vektor \(\mathbf w \in \mathbb{F}^n\) defineres som følger:
Spørgsmål a#
Vis at løsningsmængden til et inhomogent system af lineære ligninger er en sideklasse af løsningsmængden til det tilhørende homogene system.
Spørgsmål b#
Vis at \(\mathbf w_1 + V = \mathbf w_2 + V\) hvis og kun hvis \(\mathbf w_1-\mathbf w_2 \in V.\) Konkluder at forskellen af to partikulære løsninger til et inhomogent ligningssystem er en løsning til det tilhørende homogene ligningssystem.