Opgaver – Store Dag

Opgaver – Store Dag#

Opgave 1: Divisionsalgoritmen#

Spørgsmål a#

Afgør ved hjælp af divisionsalgoritmen om polynomiet \(d(Z)=Z^2+Z+1\) er en faktor af polynomiet \(p(Z)=2Z^6-2\).

Svar

Ja det er en faktor, fordi divisionsalgoritmen giver rest \(0\). Mere præcist fås vha. divisionsalgoritmen at

\[2Z^6-2=(Z^2+Z+1)(2Z^4-2Z^3+2Z-2).\]

Spørgsmål b#

Er \(Z^3+2\) en faktor af \(Z^6+2Z^3+8\)?

Svar

Nej: divisionsalgoritmen giver rest forskellig fra \(0\).

Opgave 2: Multiplicitet af rødder#

Spørgsmål a#

Det opgives at \(-2\) er en rod i polynomiet \(p(Z)=Z^5+4Z^4+4Z^3+5Z^2+20Z+20\). Beregn rodens multiplicitet.

Hint

Du kan finde definition på multipliciteten af en rod i Definition 5.6.1 i lærebogen.

Hint

I Eksempel 5.6.1 fra lærebogen gennemgås et lignende problem (især det tredje polynomium givet der).

Svar

Multipliciteten er \(2\).

Spørgsmål b#

Find et fjerdegradspolynomium som har rødderne \(0\), \(1\) og \(-1\) med multipliciteter hhv. \(2\), \(1\) og \(1\).

Hint

Hver rod \(\lambda\) i et polynomium giver anledning til en faktor \(Z-\lambda\) i dette polynomium ifølge Lemma 5.6.2. Hvad giver en rod med multiplicitet \(2\) anledning til ifølge Definition 5.6.1 fra lærebogen?

Opgave 3: Polynomiets rødder og koefficienter#

Spørgsmål a#

Der er givet et tredjegradspolynomium \(p(Z)=Z^3+aZ^2+bZ+c \in \mathbb{R}[Z]\) med \(a,b\) og \(c\) visse uopgivne tal. Det opgives også at tallene \(10\), \(2\) og \(3\) er rødder i \(p(Z)\). Beregn \(a\), \(b\) og \(c\).

Svar

\(a=-15\), \(b=56\) og \(c=-60.\)

Opgave 4: Et tredjegradspolynomium#

Der opgives polynomiet

\[p(Z)=Z^3+9Z^2+28Z+30.\]

I denne opgave undersøges polynomiets rødder.

Spørgsmål a#

Vis at \(-3\) er en rod i \(p(Z)\).

Spørgsmål b#

Brug divisionsalgorithmen til at vise at

\[p(Z)=(Z+3)(Z^2+6Z+10).\]

Spørgsmål c#

Find nu samtlige løsninger indenfor de komplekse tal til polynomiumsligningen \(p(z)=0.\)

Svar

\(-3,-3+i,-3-i.\)

Opgave 5: Reelle rødder#

Spørgsmål a#

Er følgende udsagn rigtigt?

Hvert polynomium \(p(Z) \in \mathbb{R}[Z]\) af grad fire har en reel rod.

Enten vis udsagnet eller giv et modeksempel.

Opgave 6: At faktorisere for at kunne forkorte#

Det oplyses at \(i\) og \(1+i\) er rødder i polynomiet

\[P(Z)=Z^2−Z−2iZ−1+i.\]

Brug oplysningerne til at forkorte følgende brøk:

\[\frac{Z^2−Z−2iZ−1+i}{Z-1-i}.\]

Opgave 7: Faktorer med reelle koefficienter#

Find alle rødder i \(\mathbb C\) i følgende polynomier og skriv polynomierne bagefter som produkt af polynomier med reelle koefficienter af lavest mulig grad.

  1. \(Z^3+Z-2.\)

  2. \(Z^2+2Z+1.\)

  3. \(Z^3-Z^2-3Z+2.\)

Hint

I beviset af Corollary 5.6.4 fra lærebogen bliver det forklaret hvordan man finder det ønskede produkt ud fra polynomiets rødder.

Svar

  1. Rødder: \(1,-\frac12 + \frac12 \sqrt{7}i,-\frac12 - \frac12 \sqrt{7}i\). Faktorisering: \((Z-1)(Z^2+Z+2)\).

  2. Rødder: \(-1\) (med multiplicitet to). Factorisering: \((Z+1)^2.\)

  3. Rødder: \(2,-\frac12 + \frac12 \sqrt{5},-\frac12 - \frac12 \sqrt{5}\). Factorisering: \((Z-2)(Z+\frac12 - \frac12 \sqrt{5})(Z+\frac12 + \frac12 \sqrt{5})\).

Opgave 8: Komplekse rødder og faktorer med reelle koefficienter#

For et polynomium \(p(Z) \in \mathbb{R}[Z]\) af grad fire på formen \(Z^4+aZ^3+bZ^2+cZ+d\) er det opgivet at \(p(i)=0\) og \(p(2+i)=0\). Besvar nu følgende spørgsmål:

Spørgsmål a#

Find samtlige rødder i \(p(Z)\).

Hint

Lemma 5.3.3 er nyttigt her.

Svar

\(i,-i,2+i,2-i.\)

Spørgsmål b#

Skriv \(p(Z)\) som produkt af to andengradspolynomier med reelle koefficienter.

Svar

\((Z^2+1)(Z^2-4Z+5).\)

Spørgsmål c#

Beregn \(a,b,c\) og \(d\).

Svar

\(a=-4\), \(b=6\), \(c=-4\) og \(d=5.\)

Bemærkning#

Færdig med alle opgaver? Tid og lyst til noget mere? Click her!

Contents